Question

有关线性代数特征值求法概念问题

Ax=入x
(A-入I)x=0
/A-入I/=0
(A-入I)x=0是齐次线性方程组，x为非零向量，入为非零常数，使得方程成立，也就是说，x的解不唯一，系数阵的非零子式最高阶数小于未知数，得/A-入I/=0
但是，x为非零向量就决定了解不唯一，但系数阵的非零子式最高阶数可以等于未知数个数啊，一个非零解不也是解唯一吗？

Answer 1

齐次线性方程组 (A-入I)x=0 有非零解时, 就有无穷的解

系数阵的非零子式最高阶数可以等于未知数个数时, 齐次线性方程组(A-入I)x=0 只有零解
这时 λ 不是特征值.

总之, λ是特征值的充分必要条件是 |A-λE| = 0.

追问

为什么齐次线性方程组 (A-入I)x=0 有非零解时, 就有无穷的解？

追答

这是因为 齐次线性方程组 的解的线性组合 仍是方程组的解
比如: 若 x是解向量, 则kx也是解向量(k为任意常数)

追问

/A-入I/=0其中λ不也有一个值使得X为零向量吗？那么这个推导不就不成立了吗？

追答

当然有. 对任意λ, 齐次线性方程组 (A-λI)x=0 总是有零解!
但特征向量要求是非零向量.
所以要求 (A-λE)X=0 有非零解.
即λ 要满足 |A-λE| = 0.
这样的λ才是A的特征值, (A-λE)X=0 的非零解x 才是A的属于特征值λ的特征向量.

追问

|A-λE| = 0表示的不是解不唯一，但也包括零解吗？λ 要满足 |A-λE| = 0，那么所得的解一定是非零解吗？还是说如果x可以为零解，那么λ 要满足 |A-λE| = 0其求出来的x为非零解，但是如果改成x为零解对应于x为非零解是的数λ时，也是成立的，也就是说λ 要满足 |A-λE| = 0，解出来的一定是非零解，但此时 λ不变，x改为0阵，也是成立的，但这种情况是属于x为零解是的情况，而不包括在λ 要满足 |A-λE| = 0的情况里，对吗？

追答

|A-λE| = 0表示的不是解不唯一，但也包括零解吗？
答: |A-λE| = 0时, (A-λE)X = 0有非零解.
零解是齐次线性方程组都有的解.
在计算特征值特征向量时, 要求特征向量非零, 所以不考虑零解.

λ 要满足 |A-λE| = 0，那么所得的解一定是非零解吗？还是说如果x可以为零解，那么λ 要满足 |A-λE| = 0其求出来的x为非零解，但是如果改成x为零解对应于x为非零解是的数λ时，也是成立的，也就是说λ 要满足 |A-λE| = 0，解出来的一定是非零解，但此时 λ不变，x改为0阵，也是成立的，但这种情况是属于x为零解是的情况，而不包括在λ 要满足 |A-λE| = 0的情况里，对吗？
答: 天呢, 你也太绕了吧!
""λ 要满足 |A-λE| = 0，那么所得的解一定是非零解吗？""
上面说了, 不管λ取什么值, 齐次线性方程组总是有零解,
哪有齐次线性方程组的解一定是非零解这一说呀?!
是 λ 满足 |A-λE| = 0 时, (A-λE)X=0 有非零解, 是 "" 有 "" 非零解!!!
特征向量必须是非零的.

追问

λ 满足 |A-λE| = 0 时, (A-λE)X=0 有非零解这里的非零解是所有的非零解吗，也就是说能解出所有的非零解吗？而且求出来的非零解可以是一个，也可以是多个，这里的“一个”指的一定是基础解系吗？如果不是基础解系，那么“一个”代表的就是无穷多的解，对吗？我们平时说的非零解有一个或两个，其实指的都是极大线性无关组，对吗？

追答

(A-λE)X=0 的非零解都是λ的特征向量

若求所有的λ的特征向量, 就要求出所有的非零解
齐次线性方程组的所有解(或通解)就是其 基础解系的线性组合
所以所有的非零向量就是基础解系的非零线性组合.

你基础不太扎实, 建议看看教材线性方程组解的结构这部分

Answer 2

首先，行列式符号是|不是/
其次，线性代数中解的唯一不是满足这个条件的向量个数惟一，而是说解空间的极大线性无关组的个数为1，这是个特殊约定。

追问

x可以为一非零的极大线性无关组，那么解不就唯一了吗？因为x为非零向量，所以零解不应该算一个解阿，这样解释对吗？为什么？