Question

证明:如果一个数列有界,但不收敛,则必存在两个不同极限的收敛子列。

Answer 1

反证法：
如果不存在两个不同极限的收敛子列，又数列有界，即所有子列的极限相同，（不能为无穷大了）
根据
数列极限与子列极限的关系，得
原数列必收敛！矛盾！
从而
必存在两个不同极限的收敛子列。