Question

若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在x=正负1处取得极值，且在x=0处的切线斜率为-3，求若过点A（2，m)可做曲线y=f(x)

若过点A（2，m)可做曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围

Answer 1

f(x)=ax^3+bx^2+cx
f‘(x) = 3ax^2+2bx+c
在x=正负1处取得极值：
f'(1)=0，f'(-1)=0
3a+2b+c=0
3a-2b+c=0
解得b=0，c=-3a
f(x) = ax^3 - 3ax
f‘(x) = 3ax^2 - 3a

在x=0处的切线斜率为-3
f'(0) = -3
-3a=-3
a=1
f(x) = x^3 - 3x
f‘(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)

x＜-1时，f(x)单调增；-1＜x＜1时，单调减；x＞1时单调增
又：f''(x)=6x
f''(0)=0，x=0为拐点
x＜0时，f''(x)＜0，上凸；
x＞0时，f''(x)＞0，下凹
x=2在f(x(的下凹段
所以点A（2，m）b必须在点f(2)下方时才能做f(x)的三条切线
即m＜f(2)=2^3-3*2=2
∴m∈（-∞，2）

Answer 2

解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c
依题意{f′(1)=3a+2b+c=0f′(-1)=3a-2b+c=0⇒{b=03a+c=0
又f'（0）=-3∴c=-3∴a=1∴f（x）=x3-3x
（Ⅱ）设切点为（x0，x03-3x0），
∵f'（x）=3x2-3∴f'（x0）=3x02-3
∴切线方程为y-（x03-3x0）=（3x02-3）（x-x0）
又切线过点A（2，m）
∴m-（x03-3x0）=（3x02-3）（2-x0）
∴m=-2x03+6x02-6
令g（x）=-2x3+6x2-6
则g'（x）=-6x2+12x=-6x（x-2）
由g'（x）=0得x=0或x=2g（x）极小值=g（0）=-6，g（x）极大值=g（2）=2
画出草图知，当-6＜m＜2时，m=-2x3+6x2-6有三解，
所以m的取值范围是（-6，2）．