Question

高1数学问题

已知函数f(x)=ax^2-1(a,x为实数，设集合A={x|f(x)=x}，集合B={x|f[f(x)]=x}，且A=B，求实数a的取值范围

Answer 1

指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。

一、 指数概念与对数概念：

指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a·a……a(n个)=an导出乘方，这里的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。

欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b

其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

ab=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。

二、指数运算与对数运算的性质

1．指数运算性质主要有3条：

ax·ay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax·bx（a>0,a≠1,b>0,b≠1）

2．对数运算法则（性质）也有3条：

（1）loga(MN)=logaM+logaN
（2）logaM/N=logaM-logaN
（3）logaMn=nlogaM(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)

3．指数运算与对数运算的关系：

X=alogax；mlogan=nlogam

4．负数和零没有对数；1的对数是零，即

loga1=0；底的对数是1，即logaa=1

5．对数换底公式及其推论：

换底公式：logaN=logbN/logba
推论1：logamNn=(n/m)logaN
推论2：

三、指数函数与对数函数

函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是：

（1）定义域为全体实数（-∞，+∞）
（2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0
（3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。
（4）单调性是：当a>1时为增函数；当0<a<1时，为减函数。
（5）无奇偶性，是非奇非偶函数，但y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称，y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称；y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称。
（6）有两个特殊点：零点（0，1），不变点（1，a）
（7）抽象性质：f(x)=ax(a>0,a≠1),
f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)

函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是：

（1）定义域为正实数（0，+∞）
（2）值域为全体实数（-∞，+∞）
（3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。
（4）单调性是：当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数。
（5）无奇偶性。但y=logax与y=log(1/a)x关于x轴对称，y=logax与y=loga(-x)图象关于y轴对称，y=logax与y=ax图象关于直线y=x对称。
（6）有特殊点（1，0）,(a，1)
（7）抽象运算性质f(x)=logax(a>0,a≠1)，
f(x·y)=f(x)+f(y),
f(x/y)=f(x)-f(y)

例1．若f(x)=(ax/(ax+√a))，求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)

分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征，发现规律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1，

而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax·√a))=(ax/(ax+√a))+((√a)/(ax+√a))=((ax+√a)/(ax+√a))=1规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：

原式=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1)5000个=500

说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。

（1）取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2))，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= 。
（2）上题中取a=9，则f(x)=(9x/(9x+3))，和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n).
（3）设f(x)=(1/(2x+√2))，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 。这就是2003年春季上海高考数学第12题。

例2．5log25等于：（ ）

（A）1/2 （B）(1/5)10log25 （C）10log45 （D）10log52

解：∵5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)×10log25
∴选（B）

说明：这里用到了对数恒等式：alogaN=N(a＞0,a≠1,N＞0)

这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。

例3．计算

解法1：先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。

解法2：利用算术根基本性质对真数作变形，有

说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。

例4．试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。

解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记122003=a＞0，则有

((122002+1)/(122003+1))÷((122003+1)/(122004+1))=((a/12)+1)/(a+1)·((12a+1)/(a+1))=((a+12)(12a+1))/(12(a+1)2)=((12a2+145a+12)/(12a2+24a+12))＞1

故得：((122002+1)/(122003+1))＞((122003+1)/(122004+1))

例5．已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）

（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随a,b的取值而定

解：设lglog310=t，则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t

而f(t)+f(-t)=

∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3

说明：由对数换底公式可推出logab·logba=(lgb/lga)·(lga/lgb)=1，即logab=(1/logba)，因而lglog310与lglg3是一对相反数。设中的部分，则g(x)为奇函数，g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解，关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形。

例6．已知函数y=((10x-10-x)/2)(X∈R)

（1）求反函数y=f-1(x)
（2）判断函数y=f-1(x)是奇函数还是偶函数

分析：（1）求y=(10x-10-x)/2的反函数首先用y把x表示出来，然后再对调x,y即得到y=f-1(x)；

（2）判断函数y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义，看当X∈R时是否有

f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)
或f(-x)=f(x)
恒成立。

解：（1）由y=((10x-10-x)/2)(X∈R)可得2y=10x-10-x，设10x=t，上式化为：2y=t-t-1两边乘t，得2yt=t2-1整理得：t2-2yt-1=0，解得：

由于t=10x＞0，故将舍去，得到：将t=10x代入上式，即得:

所以函数y=((10x-10-x)/2)的反函数是

(2)由得:

∴f-1(-x)=-f(x)

所以，函数 是奇函数。

说明：①从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论：函数y=((ax-a-x)/2)(X∈R,a＞0,a≠1)的反函数是，它们都是奇函数。当a=2,3,10或e时就构造了新的特殊的题目。进一步还可以研究它们的单调性，如1992年高考数学试题：函数y=((ex-e-x)/2)的反函数

（A）是奇函数，它在(0,+∞)上是减函数；
（B）是偶函数，它在(0,+∞)上是减函数；
（C）是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数；
（D）是偶函数，它在(0,+∞)上是增函数。

②函数y=((ax-a-x)/2)是由y=f(x)=ax构造而得，全日制普通高级中学教科书（试验修订本。必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社中学数学室编著）P107复习参考题二B组第6题：设y=f(x)是定义在R上的任一函数，

求证：（1）F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数；
（2）F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。

而f(x)=F1(X)+F2(x)，它说明，定义在R上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))与一个偶函数(F1(x))的代数和。从这个命题出发，由f(x)=ax就可以构造出诸多奇函数，比如，y=((ax-a-x)/2)；y=((ax-a-x)/(ax+a-x))=((a2x-1)/(a2x+1))等等用自然对数的底e≈2.71828…（无理数）作底，作函数sh(x)=((ex-e-x)/2),ch(x)=((ex+e-x)/2),th(x)=((ex-e-x)/(ex+e-x))它们分别叫做双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，它们具有如下性质：

(1)ch2(x)-sh2(x)=1;
(2)sh(x+y)=sh(x)·ch(y)+ch(x)·sh(y);
(3)ch(x+y)=ch(x)·ch(y)+sh(x)·sh(y);
(4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)·th(y)));
(5)ch(-x)=ch(x);
(6)sh(-x)=-sh(x);
(7)th(-x)=-th(x).
令x=y，则有
(8)sh(2x)=2sh(x)·ch(x);
(9)ch(2x)=ch2(x)+sh2(x)
其中①⑧⑨合起来，就是课本P107的第8题。

例7．已知函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a＞0,a≠1)

（1）求f(x)的定义域
（2）判断f(x)的奇偶性并给以证明；
（3）当a＞1时，求使f(x)＞0的x取值范围；
（4）求它的反函数f-1(x)

解：（1）由对数的定义域知((1+x)/(1-x))＞0
解这个分式不定式，得：(x+1)(x-1)＜0,-1＜x＜1
故函数f(x)的定义域为（-1，1）

（2）f(-x)=loga((1-x)/(1+x))=log((1+x)/(1-x))-1=-loga((1+x)/(1-x))=-f(x)
由奇函数的定义知，函数f(x)是奇函数。

（3）由loga((1+x)/(1-x))＞0＜＝＞loga((1+x)/(1-x))＞loga1，

因为a＞1，所以由对数函数的单调性知((1+x)/(1-x))＞1，考虑由（1）知x＜1,1-x＞0，去分母，得：1+x＞1-x,x＞0故：0＜x＜1

所以对于a＞1，当x∈(0,1)时函数f(x)＞0

（4）由y=loga((1+x)/(1-x))得：((1+x)/(1-x))=ay应用会比分比定理得：((1+x)+(1-x))/((1+x)-(1-x))=((ay+1)/(ay-1))即:(2/2x)=((ay+1)/(ay-1))

∴x=((ay-1)/(ay+1))交换x,y得：
y=((ax-1)/(ax+1))，它就是函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))的反函数f-1(x)即f-1(x)=((ax-1)/(ax+1))

说明：（1）函数y=loga((1+x)/(1-x))与y=((ax-1)/(ax+1))是一对反函数。取a=e，函数y=((ex-1)/(ex+1))的反函数的定义域是 。这就是89年的高考题目。

（2）已知f(x)=lg((1-x)/(1+x)),a,b∈(-1,1)求证：f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab))（P89习题2.8第4题）可以看作该类函数的性质。

（3）y=ax与y=logax；y=((ax-a-x)/2)与；y=((ax-1)/(ax+1))与y=loga((1+x)/(1-x))这三对互反函数及其性质需要理解记忆。

例8．22003的十进制表示是个P位数，52003的十进位表示是个q位数，则p+q= 。

解：∵22003是个P位数,
∴10p-1＜22003＜10p ①
∵52003是个q位数，
∴10q-1＜52003＜10q ②
①×②得:10p+q-2＜(2×5)2003＜10p+q
即10p+q-2＜102003＜10p+q ③
∴2003=p+q-1
∴p+q=2004

例9．已知x2-2x+loga(a2-a)=0有一正根和一负根，求实数a的范围。

解：方程有一正根一负根的充分必要条件是：

loga(a2-a)＜0（由韦达定理而来）①

由a＞0,a≠1,a2-a=a(a-1)＞0,可得a＞1 ②，从而由loga(a2-a)＜0=loga1得:a2-a＜1,a2-a-1＜0，解得: ③，由②③得：

例10．设y=log(1/2)[a2x+2(ab)x-b2x+1](a＞0,b＞0)，求使y为负值的x的取值范围

解：∵(1/2)＜1,要使y＜0,只要

a2x+2(ab)x-b2x+1＞1，
即a2x+2(ab)x-b2x＞0
→b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]＞0
→[(a/b)x]2+2(a/b)x-1＞0
→
→∵
→.

1°当a＞b＞0时,a/b＞1,；
2°当b＞a＞0时,0＜a/b＜1,
3°当a=b＞0时，x∈R。

练习四

1．设a,b,c都是正数，且3a=4b=6c，那么（ ）
（A）(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b)

2.F(x)=(1+((2/(2x-1)))·f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )
（A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数

3．若f(x)=3x+5，则f-1(x)的定义域是（ ）
（A）(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞)

4．求值：6lg40×5lg36

5．已知m,n为正整数，a＞0,a≠1,且logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan。求m,n

6．X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间（ ）
（A）（-2，-1） （B）（1，2） （C）（-3，-2） （D）（2，3）

7．计算：

（1）lg20+log10025 (2)lg5·lg20+(lg2)2

8．若集合{x，xy，lg(xy)}={0，∣x∣,y}，则log8(x2+y2)= 。

9．若x∈(1,10)，则lg2x,lgx2,lglgx的大小顺序是：
（A）lg2x＜lgx2＜lglgx (B)lg2x＜lglgx＜lgx2
（C）lgx2＜lg2x＜lglgx (D)lglgx＜lg2x＜lgx2

10．计算：

11．集合{x∣-1≤log(1/x)10＜-(1/2),x∈N}的真子集的个数是 。

12．求函数y=(1/4)x2-2x-3的单调区间。

13．已知指数函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)，求满足f(3x2-4x-5)>f(2x2-3x+1)的x的取值。

14．解方程8log6(x2-7x+15)=5log68

15．设有关于x的不等式lg (∣x+3∣+∣x-7∣)＞a

（1）当a=1时，解这个不等式；
（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R？

参考答案

1.（B）；2.（A）；3.（B）；4.216；5.m=2，n=2；
6.（D）；7.（1）2，（2）1；8.1/3；9.（D）；
10.1/2；11.290-1；12.单调增区间（-∞，1]，单调减区间[1，+∞）
13.当a＞1时，x＜-2或x＞3，当0＜a＜1时，-2＜x＜3；
14.x1=2,x2=5；
15.(1)x＜-3或x＞7，（2）a＜1

Answer 2

A={x|f(x)=x}，B={x|f[f(x)]=x}，
要A=B，则，满足f(x)=-x是空集就行了

f(x)=ax^2-1=-x
ax^2+x-1=0

a=0，A、B都为空集，满足条件A=B

a≠0
△=b^2-4ac=1+4a＜0
所以，a＜-1/4

综上，a=0或a＜-1/4

Answer 3

1
解答过程：
已知f(x)=x/(x+3)(1≤x≤9)
则可转化为
f(x)=(x+3-3)/(x+3)=1-3/(x+3)
知此函数为增函数。
则函数y=[f(x)]＾2+f(x＾2)也为增函数。
又因函数([f(x)]＾2的定义域为
[1,9]
函数f(x＾2)的定义域为
1≤x^2≤9
即
1≤x≤3
或－3≤x≤－1
则函数y=[f(x)]＾2+f(x＾2)的定义域为函数([f(x)]＾2与函数f(x＾2)定义域的交集
，即[1,3]
则函数y=[f(x)]＾2+f(x＾2)的最大值
是
ymax
=
=[f(3)]＾2+f(3＾2)
=
1/4+3/4=1
（因函数y为增函数，则x＝3时取最大值）

Answer 4

解：a20=a10+10d
10d=50-30=20
d=2
a10=a1+9d=30
a1=30-9d=12
an=a1+(n-1)d=12+2(n-1)=2n+10
Sn=(a1+an)n/2=(12+2n+10)=242
(2n+22)n=484
n²+11n-242=0
(n+22)(n-11)=0
n=11
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Answer 5

由-27*q^3=1
所以q=-1/3