设β=可由向量组α1,α2,....αm线性表示，且表示式唯一。试证α1，α2，...αm线性无关
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证明: 设 k1α1+k2α2+...+kmαm = 0.
由已知β可由向量组α1,α2,...,αm线性表示
故存在t1,t2,...,tm满足 β=t1α1+t2α2+...+tmαm
所以
β = t1α1+t2α2+...+tmαm + k1α1+k2α2+...+kmαm
= (t1+k1)α1+(t2+k2)α2+...+(tm+km)αm
又因为β由α1,α2,...,αm的表示的方法唯一
所以 ti+ki = ti, i=1,2,...,m
所以 ti = 0, i=1,2,...,m
所以 α1,α2,...,αm线性无关.
由已知β可由向量组α1,α2,...,αm线性表示
故存在t1,t2,...,tm满足 β=t1α1+t2α2+...+tmαm
所以
β = t1α1+t2α2+...+tmαm + k1α1+k2α2+...+kmαm
= (t1+k1)α1+(t2+k2)α2+...+(tm+km)αm
又因为β由α1,α2,...,αm的表示的方法唯一
所以 ti+ki = ti, i=1,2,...,m
所以 ti = 0, i=1,2,...,m
所以 α1,α2,...,αm线性无关.
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