Question

已知函数f(x)=in(x+1/x-1).

求函数的定义域，并证明f(x)=in（x+1/x-1）在定义域上是奇函数
对于X∈【2，6】，f(x)=in（x+1/x-1）>in（m/(x-1)(7-x)）恒成立，求实数m的取值范围
当n∈N时，试比较f(2)+f(4)+f(6)+·····+f(2n)与2n+2n^2的大小关系

Answer 1

解：1.由题意可知(x+1)/(x-1)>0，解得x>1或x<-1
则函数的定义域为{ x | x>1或x<-1}

2.对于定义域内任意实数x，都有：
f(-x)=ln[(-x+1)/(-x-1)]
=ln[(x-1)/(x+1)]
=-ln[(x+1)/(x-1)]
=-f(x)
所以f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]在定义域上是奇函数

3.因为f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]=ln[1+2/(x-1)]
所以函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数，在(1,+∞)上也是减函数
对于X∈【2，6】，f(x)=[(x+1)/(x-1)]>ln{m/[(x+1)*(7-x)]}恒成立
则(x+1)/(x-1)>m/[(x+1)*(7-x)]
因为x+1>0，所以上式可化为：
1/(x-1)>m/(7-x)
即1/(x-1) -m/(7-x)>0
通分得：
(7-x-mx+m)/[(x-1)(7-x)]>0
即[(-x+1)m+7-x]/[(x-1)(7-x)]>0
因为x-1>0且7-x>0
所以上式可化为：
(-x+1)m+7-x>0
即(1-x)m>x-7
两边同乘以－1,可得：
(x-1)m>x-7
则m>(x-7)/(x-1) (*)
又(x-7)/(x-1)=1-6/(x-1)且2≤x≤6，
则当x=2时，(x-7)/(x-1)有极小值－5
当x=6时，(x-7)/(x-1)有极大值－1/5
要使(*)式对于任意X∈【2，6】都成立，须使得：m>-1/5
所以m的取值范围是：m>-1/5

4.因为f(x)=ln[(x+1)/(x-1)]=ln(x+1)-ln(x-1)
所以f(2)+f(4)+f(6)+·····+f(2n)
＝(ln3-ln1) +(ln5-ln3)+(ln7-ln5)+...+[ln(2n-1)-ln(2n-3)]+[ln(2n+1)-ln(2n-1)]
=ln(2n+1)
令g(n)=ln(2n+1) -(2n+2n²)
则g'(n)=2/(2n+1) -(2+4n)，其中n∈N
=[2/(2n+1)]*[1-(2n+1)²]
因为n∈N，所以2n+1>0且1-(2n+1)²<0
则g'(n)<0
所以函数g(n)在n∈N上是减函数
则当n=1时，g(n)有最大值ln3－4<0
所以对于任意n∈N，g(n)<0
即ln(2n+1) -(2n+2n²)<0
ln(2n+1) <(2n+2n²)
所以当n∈N时，f(2)+f(4)+f(6)+·····+f(2n)<2n+2n²