Question

若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数且f(3)=0，解不等式xf(x)<0

Answer 1

由于f(x)是奇函数，所以，f(3)=-f(-3)=0，那么f(-3)=0，
因为，f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(x)是奇函数，所以，f(x)在(-∞,0)上也是增函数。
那么可以看出，
当x＜-3时，f(x)＜0 因此有 x*f(x)＞0，不等式不成立；
当x=-3时，f(x)=0，因此有 x*f(x)=0，不等式不成立；
当-3＜x＜0时，f(x)＞0，因此有x*f(x)＜0，不等式成立；
当x=0时，x*f(x)=0，或者f(x)无解，不等式不成立；
当0＜x＜3时，f(x)＜0，因此有x*f(x)＜0，不等式成立；
当x=3时，f(x)=0，因此有 x*f(x)=0，不等式不成立；
当x＞3时，f(x)＞0，因此有 x*f(x)＞0，不等式不成立；

综述：x*f(x)＜0的解是 -3＜x＜0或者0＜x＜3

Answer 2

解：f(x)在(0,+∞)上是增函数且f(3)=0
故，当x在（0,3）时，f(x)<f(3)=0
当x在（3,+∞）时，f(x)>f(3)=0
由于是奇函数，关于原点对称f(-3)=-f(3)=0
易知当x在（-3,0）时，f(x)>f(-3)=0
当x在（-∞,-3）时，f(x)<f(-3)=0
xf(x)<0，(1)x<0,f(x)>0,得-3<x<0
(2)x>0,f(x)<0,得0<x<3
综上，解集是{x|-3<x<0，0<x<3}

Answer 3

画出函数的图象，注意函数图象过点（-3，0）和（3，0）且f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(x)在(-∞，0）上也是增函数。xf(x)<0等价于x>0且f(x)<0或x<0且f(x)>0,由图象可得0<x<3或-3<x<0.

Answer 4

x的范围是零到负无穷