Question

在梯形ABCD中AD平行于BC，AB等于DC等于AD，角C等于60度，AE垂直于BD于点E，F是CD的中点，DG为梯形的高

求证1，四边形ABCD是平行四边形
2设AE=x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式

Answer 1

1、由题意知：AE为等腰△ABD的高，故BE=ED,
又F是CD的中点，CF=FD
故EF为△ACD的中位线，所以EF//BC//AD
因为ABCD为等腰梯形，故∠C=∠ABC=60，∠BAD=∠ADC=(2X180-60X2)/2=120
∠ADE=∠ABD=(180-120)/2=30
所以∠EDF=∠ADC-∠ADE=120-30=90
所以∠EDF＝∠AED=90,故AE//DF
所以四边形AEFD是平行四边形
2、令EF、DG交于H,因为EF//BC，F为CD中点，所以HF为RT△DGC的中位线，且HF⊥ DG
所以DH=HG=DG/2
RT△AED中，∠ADE=30，所以AD=2AE=2x＝EF,
ED= √(AD＾2－AE＾2)=√（4x＾2－x＾2)=√3x
RT△EHD中，∠DEH=∠ADE=30，所以DH=ED/2=√3x/2,
y=△DEF面积+△GEF面积＝2△DEF面积＝2*（2x*√3x/2/2)=√3x＾2

Answer 2

证明：（1）∵AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°．
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．
由AE⊥BD，
∴AE∥DC．
又∵AE为等腰三角形ABD的高，
∴E是BD的中点．
∵F是DC的中点，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四边形AEFD是平行四边形．
（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=x，
∴AD=2x．
在Rt△DGC中∠C=60°，且DC=AD=2x，
∴DG=√ 3x．
由（1）知：在平行四边形AEFD中：EF=AD=2x，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF．
∴四边形DEGF的面积= ½EF•DG．
∴y= ½×2x• √3x=√ 3x²（x＞0）．