Question

定义在R上的函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f （y)-1

定义在R上的函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f
（y)-1,且x>0时，f（x）>1.求证：
1、f（x）是R上的增函数。
2、函数g（x）=f（x）-1(x∈R)是奇函数。

Answer 1

应该是(1)设x1<x2 则x2-x1>0 所以f(x2-x1)>1
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1
所以f(x1)-f(x2)=1-f(x2-x1)<0
即f(x1)<f(x2)
所以f(x)是R上的增函数
(2)令x=y=0得 f(0)=f(0)+f(0)-1 所以f(0)=1
令y=-x得 f(0)=f(x)+f(-x)-1 即1=f(x)+f(-x)-1
所以f(-x)-1=-f(x)+1=-[f(x)-1]
即g(-x)=-g(x)
所以g(x)为奇函数

不会可以继续询问我，有问必答！

Answer 2

(1)设x1<x2 则x2-x1>0 所以f(x2-x1)>1
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1
所以f(x1)-f(x2)=1-f(x2-x1)<0
即f(x1)<f(x2)
所以f(x)是R上的增函数
(2)令x=y=0得 f(0)=f(0)+f(0)-1 所以f(0)=1
令y=-x得 f(0)=f(x)+f(-x)-1 即1=f(x)+f(-x)-1
所以f(-x)-1=-f(x)+1=-[f(x)-1]
即g(-x)=-g(x)
所以g(x)为奇函数