lim根号下(1-cosx平方)/(1-cosx)=

是cos(x*x),不是cosx*cosx... 是cos(x*x),不是cosx*cosx 展开
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heanmen
2011-10-01 · TA获得超过1.7万个赞
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解:lim(x->0)[√(1-cos(x²))/(1-cosx)]
=lim(x->0)[√(2sin²(x²/2))/(2sin²(x/2))] (应用三角函数倍角公式)
=lim(x->0)[√2sin(x²/2)/(2sin²(x/2))]
=lim(x->0)[√2*(sin(x²/2)/(x²/2))*((x/2)/sin(x/2))²]
=√2*lim(x->0)[sin(x²/2)/(x²/2)]*lim(x->0)[(x/2)/sin(x/2)]
=√2*1*1 (应用重要极限lim(t->0)(sint/t)=1)
=√2。
chinasunsunsun
2011-09-30 · TA获得超过1.6万个赞
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x趋向于0?
如果是,因为是0/0, 用taylor 展开
lim根号下(1-cosx平方)/(1-cosx)=lim 根号下[1-(1-(x^2)^2/2+O( (x^2)^8 ) )]/[1-(1-x^2/2+O(x^4))]
=lim 根号下[x^4/2+O( x^16 ) ]/[x^2/2+O(x^4)]
=lim (x^2/根号2) /(x^2/2)= 根号2
追问
有没有其它方法。我看不懂,分子有根号。分母没有
追答
我知道分子有根号。分母没有
用泰勒展开在x=0处
cos(x)=1-x^2/2+x^4/24+...
=1-x^2/2+higher order terms
cos(x^2)=1- (x^2)^2/2 + (x^2)^4/24+...
=1-x^4/2+higher order terms
1-cos(x)~x^2/2
1-cos(x^2)~x^4/2
根号下(1-cosx平方)/(1-cosx)~根号下(x^4/2)/(x^2/2)=根号2
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匿名用户
2016-01-17
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