Question

三角形abc，ab=ac，角bac=90度，d是bc上任意一点，说明bd的平方+cd的平方=2ad的平方

Answer 1

证明：
过D作AB、AC的垂线DE、DF，垂足为E、F，则∠AED=90°，∠AFD=90°
又∵ ∠BAC=90°
∴ ∠EDF=90°
∴ 四边形AEDE为矩形
∴ AE=DF，AF=DE，AD为矩形的对角线
令AE=DF=a，AF=DE=b，则根据勾股定理可得：AD^2=a^2+b^2
∵ ∠BAC=90°，AB=AC
∴ △BAC为等腰直角三角形
∴ ∠B=∠C=45°
又∵∠AED=90°，∠AFD=90°
∴ ∠BED=90°，∠CFD=90°
∴ △BED和△CFD均为等腰直角三角形
∴ CF=DF=a，BE=DE=b
又在Rt△BED和Rt△CFD中，根据勾股定理可得：
∴ BD^2=BE^2+DE^2=b^2+b^2=2b^2
CD^2=CF^2+DF^2=a^2+a^2=2a^2
∴ BD^2+CD^2=2(a^2+b^2)
又∵AD^2=a^2+b^2
∴ BD^2+CD^2=2AD^2

Answer 2

作df⊥ac交ac于f
作de⊥ba交ba于e
则ae＝fd
de＝af
因为ad＝bc
所以df＝fc be＝de
在直角三角形dfe中df²＋fc²＝dc²
在直角三角形bed中be²＋ed²＝bd²
在直角三角形afd中af²＋fd²＝ad²
bd²＋dc²＝df²＋fc²＋be²＋ed²＝df²＋df²＋ed²＋ed²＝2﹙df²＋ed²﹚＝2﹙df²＋af²﹚＝2ad²

Answer 3

如图所示：
三角形ABC是等腰直角三角形。自A点做BC垂线交BC于E；则有AE=BE=CE；
可得：AE²+DE²=AD²
BD²=（BE-DE）²=BE²-2BE*DE+DE²
CD²=（CE+DE）²=CE²+2CE*DE+DE²
BD+²CD²=BE²-2BE*DE+DE²+CE²+2CE*DE+DE²
=BE²+DE²+CE²+DE²
=2（AE²+DE²）
=2AD²