Question

已知动点P与双曲线x^2/2-y^2/3=1的两个焦点F1F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-1/9

（1）求动点P的轨迹方程
（2）若已知点D（0，3），点M,N在动点P的轨迹上，且向量DM=λ向量DN，求实数λ的取值范围
详细过程谢谢

Answer 1

（1）F1(-√5，0)，F2(√5，0)，易知点P的轨迹是一个以F1F2为焦点的椭圆，
有个知识点要知道，椭圆上的点，张角(∠F1PF2)最大处为短轴顶点，
设点P在上顶点B处，则B(0，b)，cos∠F1BO=b/a
因为∠F1BF2=2∠F1BO，且cos∠F1BF2=-1/9，所以由倍角公式可得cos∠F1BO=2/3
即b/a=2/3，又因为c^2=a^2-b^2，c=√5，
联列方程组可得：a^2=9，b^2=4，
所以轨迹方程为：x^2/9+y^2/4=1
（2）向量DM=λ向量DN，即D,M,N三点共线；
设三点所在直线为L，
①当L斜率不存在时，易得：M(0，2)，N(0，-2)，则λ=1/5；
或：M(0，-2)，N(0，2)，则λ=5；
②当L斜率存在时，则设L：y=kx+3，M(x1，y1)，N(x2，y2)
向量DM=(x1，y1-3)，向量DN=(x2，y2-3)
因为向量DM=λ向量DN，所以得：x1=λx2，即x1/x2=λ；
直线L：y=kx+3，与椭圆：x^2/9+y^2/4=1联列方程组，消去y，
得：(4/9+k^2)x^2+6kx+5=0；
首先要有两个交点，所以△=b^2-4ac>0，可得：k<-√5/3或k>√5/3；
然后，由韦达定理可推得：x1/x2+x2/x1=b^2/ac-2=324k^2/(45k^2+20)-2
即λ+1/λ=324k^2/(45k^2+20)-2
下面是综合计算能力的体现，对324k^2/(45k^2+20)上下同除k^2得：324/(45+20/k^2)
即λ+1/λ=324/(45+20/k^2)-2
由观察法可得324/(45+20/k^2)是关于k^2递增的；
因为k<-√5/3或k>√5/3，所以k^2>5/9，所以324/(45+20/k^2)>4；
所以λ+1/λ=324/(45+20/k^2)-2>2，则λ>0
整理得：λ^2-2λ+1>0
即：(λ-1)^2>0
所以：λ>0且λ≠1
综上，实数λ的取值范围是：λ>0且λ≠1

如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

（1）因为F1(-√5，0)，F2(√5，0) 所以P的轨迹是一个以F1F2为焦点的椭圆，当在
短轴顶点时|PF1|=|PF2|=a ∠F1BF2=（|PF1|^2+|PF2|^2—|F1F2|^2）/2|PF1|PF2|=（a^2+a^2—4c^2）/2a^2=（a^2—2c^2）/a^2=-1/9 -a^2=9a^2—18c^2 18c^2=10a^2 因为c^2=5 所以a^2=9 b^2=4 所以轨迹方程为：x^2/9+y^2/4=1
（2）向量DM=λ向量DN，即D,M,N三点共线；
设三点所在直线为L，
（1)当L斜率不存在时，易得：M(0，2)，N(0，-2)，则λ=1/5；
或：M(0，-2)，N(0，2)，则λ=5；
(2)当L斜率存在时 设N(s，t)，M(x,y) y=kx+3 则由 向量DM=λ向量DN可得 ，
（x，y—3）=λ（s，t—3） x=λs y=3+λ（t—3） 故s^2/9+t^2/4=1
且（λs）^2/9+（λt+3—3λ）^2/4=1 所以[（λt+3—3λ）^2—(λt)^2]/4 =1—λ^2
所以t=（13λ—5）/6λ 因为|t|≤2 所以1/5≤λ≤5