Question

已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴交于点c,点D（-2，-3）

1、点G抛物线上的动点，在X轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）将A（-3，0），D（-2，-3）代入y=x^2+bx+c，得：
9-3b+c=0
4-2b+c=-3，
解得： b=2
c=-3；
∴抛物线的解析式为：y=x^2+2x-3．
（2）由：y=x^2+2x-3得：
对称轴为： x=-2/(2×1)=-1，
令y=0，则：x^2+2x-3=0，
∴x1=-3，x2=1，
∴点B坐标为（1，0），
而点A与点B关于y轴对称，
∴连接BD与对称轴的交点即为所求的P点．
过点D做DF⊥x轴于点F，则：DF=3，BF=1-（-2）=3，
在Rt△BDF中，BD=根号（ 3^2+3^2）=3根号2，
∵PA=PB，
∴PA+PD=PB+PD=BD= 3根号2，
即PA+PD的最小值为 3根号2．

（3）存在符合条件的点E，
①在y=x^2+2x-3中，令x=0，则有：y=-3，故点C坐标为（0，-3），
∴CD∥x轴，
∴在x轴上截取BE1=BE2=CD=2，得BCDE1和BDCE2，
此时：点C与点G重合，E1（-1，0），E2（3，0）．
②∵BF=DF=3，∠DFB=90°，
∴∠FBD=45°，
当G3E3∥BD且相等时，有G3E3DB，作G3N⊥x轴于点N，
∵∠G3E3B=∠FBD=45°，∠G3NE3=90°，G3E3=BD= 3根号2，
∴G3N=E3N=3；
将y=3代入y=x^2+2x-3
得： x=-1±根号7，
∴E3的坐标为： (-1+根号7-3，0)，
即 (-4+根号7，0)，
同理可得： E4(-4-根号7，0)，
综上所述：存在这样的点E，所有满足条件的E点坐标为：
E1（-1，0），E2（3，0），
E3 (-4+根号7，0)， E4(-4-根号7，0)．

Answer 2

由题意可知，B点坐标为（3,0）C=3b-9
BD函数为y=3/5x-9/5，且BD距离可以求出。
设存在点E（m,0),G点坐标设为（p,q）。
有以下三个条件解答
EG与BD斜率相等
EG与BD距离相等
点G在抛物线上
解出有答案就有，无就无，应该有

Answer 3

（3）存在符合条件的点E，
①在y=x2+2x-3中，令x=0，则有：y=-3，故点C坐标为（0，-3），
∴CD∥x轴，
∴在x轴上截取BE1=BE2=CD=2，得BCDE1和BDCE2，
此时：点C与点G重合，E1（-1，0），E2（3，0）．
②∵BF=DF=3，∠DFB=90°，
∴∠FBD=45°，
当G3E3∥BD且相等时，有G3E3DB，作G3N⊥x轴于点N，
∵∠G3E3B=∠FBD=45°，∠G3NE3=90°，G3E3=BD= 3根号二，
∴G3N=E3N=3；
将y=3代入y=x2+2x-3
得： ，
∴E3的坐标为：（-1+根号7-3 ，0）
即 （-4+根号7，0）
同理可得： E4(-4-根号7，0）
综上所述：存在这样的点E，所有满足条件的E点坐标为：
E1（-1，0），E2（3，0），
E3 （-4+根号7 ，0）
E4(-4-根号7，0）