Question

已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=2an+1(n∈N)

已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=2an+1(n∈N)
(1)求数列{an}的通项公式
（2）若数列{bn}满足4^(b1-1).4^(2b2-1).4^(3b3-1)…4^(nbn-1)=(an+1)^n，求数列{bn}的通项公式
（3）若cn=2^n/(ana(n+1))，求数列{cn}的前n项和Sn

Answer 1

a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2[an+1]
[a(n+1)+1]/[an+1]=2等比公比为2首项2
an+1=2*2(n-1)=2^n
an=2^n-1
(2) 4^(b1+2b2+3b3+……+nbn－n) =(2^n)^n=2^n*n
2(b1+2b2+3b3+……+nbn－n)=n^2
Bn=b1+2b2+3b3+……+nbn=1/2×n^2+n
Bn-Bn-1=nbn=n+1/2
bn=1/2n+1
（3）若cn=2^n/(ana(n+1))，求数列{cn}的前n项和Sn
cn=2^n/(ana(n+1))=2^n/(2^n-1)[2^(n+1)-1]=1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]
Sn=1-1/[2^(n+1)-1]

Answer 2

(1) a(n+1)+k=2×(an+k) ，展开与已知式比较，由对应项相等得k=1 所以an+1为以2为首项、2为公比的等比数列，所以an=2^n－1
(2) 原式左边=4^(b1+2b2+3b3+……+nbn－n) 右边=(2^n)^n=2^n^2
则 2(b1+2b2+3b3+……+nbn－n)=n^2
则记Bn=b1+2b2+3b3+……+nbn=1/2×n^2+n
则B(n+1)－Bn=n+3/2
所以得Bn=1/2+n
所以同理可得 nbn=Bn－B(n－1)=1 所以bn=1/n
(3) 裂项得cn=1/an－1/a(n+1) 累加Sn=1/a1－1/a(n+1)=1－1/(2^(n+1)－1)

Answer 3

两边同时加上1/2-1=1 即a(n+1)+1=2an+1+1 即a(n+1)+1=2（an+1）即[a(n+1)+1]/an+1=2
则数列｛an+1｝是等比数列，公比是2，首项是2.所以an+1=2*2^(n-1) 所以an=2*2^(n-1)+1