Question

用数列极限定义证明0.9999999·················的极限是1.有谁会？用定以证明

Answer 1

0.99999999......
=9×(1/10 + 1/100 + ... + 1/10^n + ...)
=9× lim(n→∞) Σ 1/10^n
=9× lim(n→∞) [(1/10)(1-1/10^n)/(1-1/10)]
=9× lim(n→∞) [(1-1/10^n)/9]
=lim(n→∞) [1-1/10^n]

记 数列 Xn= 1-1/10^n
则：0.9999.... = lim(n→∞) Xn

对于任意ε>0, 取N= lg(1/ε)
则对于 n>N的一切 Xn=1-1/10^n
均有：
|Xn-1| = 1/10^n < 1/(1/ε) = ε
所以数列Xn的极限为1
即
0.99999999...... = lim(n→∞) Xn = 1

Answer 2

a1=0.9,a2=0.09 依次下去
求sn的极限就可以了。