Question

过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F斜率为K的直线交抛物线于A,B两点,若直线AB的倾斜角为锐角，|AF|=2|BF|，则K=

麻烦各位大哥大姐了，小弟感激不尽~~~~

Answer 1

过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F(p/2,0)、斜率为k(k>0)的直线方程为y=k(x-p/2)，设该直线与抛物线的交点为A(u,k(u-p/2))、B(v,k(v-p/2))，于是u、v应该是方程组y^2=2px与y=k(x-p/2)的解，即u、v满足方程2px=(k^2)(x-p/2)^2，即x^2-(1+2/k^2)px+p^2/4=0，因此2pu=(k^2)(u-p/2)^2，2pv=(k^2)(v-p/2)^2，u+v=(1+2/k^2)p，uv=p^2/4
又|AF|^2=(u-p/2)^2+(k^2)(u-p/2)^2=(1+k^2)(u-p/2)^2；|BF|^2=(v-p/2)^2+(k^2)(v-p/2)^2=(1+k^2)(v-p/2)^2，故由|AF|=2|BF|得：(1+k^2)(u-p/2)^2=4(1+k^2)(v-p/2)^2
将2pu=(k^2)(u-p/2)^2，2pv=(k^2)(v-p/2)^2代入上式中即得u=4v
再将u=4v分别代入u+v=(1+2/k^2)p，uv=p^2/4中并解所得方程组，得k=2倍根2

追问

过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F(p/2,0)、斜率为k(k>0)的直线方程为y=k(x-p/2)，为什么直线方程是这个呢，难道它与y轴没有交点么，形式是难道不是y=kx+b这样的么？！

追答

直线的倾斜角为锐角，所以它的斜率k>0；又因为它通过F(p/2,0)，因此由直线方程的点斜式得该直线的方程是y-0=k(x-p/2)。它与y轴有交点，你可以选择斜截式方程y=kx+b，只是未知数的个数增加而已。

追问

u+v=(1+2/k^2)p，uv=p^2/4是怎么推出来的呢？！

追答

这是由韦达定理而来：u、v是方程x^2-(1+2/k^2)px+p^2/4=0的两根，故u+v=(1+2/k^2)p，uv=p^2/4。
韦达定理：若u、v是一元二次方程a(x^2)+bx+c=0的两根，则
u+v=-b/a
uv=c/a