是否存在常数a、b、c,使等式1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=n*(an^2+bn+c)/3对任意正整数成立？证明。
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1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)
=(2^2-1)+(4^2-1)+……+((2n)^2-1)
=(2^2+4^2+……+(2n)^2)-(1+1+……+1)
=2^2*(1^2+2^2+……+n^2)-n
=4*n(n+1)(2n+1)/6-n
=n*[2(2n^2+3n+1)/3-1]
=n*[(4n^2+6n+2-3)/3]
=n*(4n^2+6n-1)/3
所以a=4 b=6 c=-1
=(2^2-1)+(4^2-1)+……+((2n)^2-1)
=(2^2+4^2+……+(2n)^2)-(1+1+……+1)
=2^2*(1^2+2^2+……+n^2)-n
=4*n(n+1)(2n+1)/6-n
=n*[2(2n^2+3n+1)/3-1]
=n*[(4n^2+6n+2-3)/3]
=n*(4n^2+6n-1)/3
所以a=4 b=6 c=-1
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