Question

是否存在常数a、b，使得等式：1^2/1*3+2^2/3*5+...+n^2/（2n-1）（2n+1）=（an^2+n）/（bn+2）.

是否存在常数a、b，使得等式：1^2/1*3+2^2/3*5+...+n^2/（2n-1）（2n+1）=（an^2+n）/（bn+2）.对所有的正整数都成立，若存在求a，b的值，并证明你的结论.
要用到数学归纳法

Answer 1

令n=1得1/3=(a+1)/(b+2)；令n=2得3/5=(4a+2)/(2b+2)；解得a=1,b=4.
猜想1^2/1*3+2^2/3*5+...+n^2/（2n-1）（2n+1）=（n^2+n）/（4n+2）=n（n+1）/2（2n+1）.
用数学归纳法证明如下：
（1）当n=1、n=2时等式显然成立；
（2）假设n=k时等式成立，即1^2/1*3+2^2/3*5+...+k^2/（2k-1）（2k+1）=k（k+1）/2（2k+1）,
则当n=k+1时,1^2/1*3+2^2/3*5+...+k^2/（2k-1）（2k+1）+(k+1)^2/（2k+1）（2k+3）=
k（k+1）/2（2k+1）+(k+1)^2/（2k+1）（2k+3）=(k+1)(k+2)/2(2k+3)仍然成立.
由（1）、（2）知等式对所有正整数均成立.
存在常数a=1,b=4,使得等式：1^2/1*3+2^2/3*5+...+n^2/（2n-1）（2n+1）=（an^2+n）/（bn+2）对所有的正整数都成立.