Question

已知函数f(x)=2^x+a×2^-x

1)若a=-1,且f(x)=4,求x的值
2）若a≤4,求证函数f(x)在[1,正无穷)上是增函数

Answer 1

1)
函数f(x)=2^x+a/(2^x)，
若a=-1, f(x)=2^x-1/(2^x)，
f(x)=4,则2^x-1/(2^x)=4，
(2^x)^2-4(2^x)-1=0,
2^x=2±√5，因为2^x>0, 2-√5舍去，
所以2^x=2+√5，
∴x=log2(2+√5).
2)
设x1>x2>1,
f(x1)-f(x2)=2^x1+a/(2^x1)- 2^x2-a/(2^x2)
=(2^x1- 2^x2)+a(2^x2-2^x1)/( 2^x1*2^x2)
=(2^x1- 2^x2)[1-a/( 2^x1*2^x2)]
=(2^x1- 2^x2)[(2^(x1+x2)-a)/( 2^(x1+x2))]
因为x1>x2>1,
所以2^x1> 2^x2>2, 2^(x1+x2)>2^2=4
∴2^x1- 2^x2>0, 2^(x1+x2)-a>0,
即f(x1)-f(x2) >0,
所以函数f(x)在[1,正无穷)上是增函数