Question

已知f(x)=x的平方+3x+1.求f(x)的解析式。 的待定系数法。。 a+b+c=1、为啥？

待定系数法：设法f（x）=ax^2+bx+c
则f（x+1）=a（x+1）^2+b(x+1)+c=ax^2+(2a+b)x+c
但f（x+1）=x^2+3x+1
所以a=1 b+2a=3 a+b+c=1
所以f(x)=x^2+x-1

c为啥不能直接和1对应？ 为啥是 a+b+c=1啊。。
是 f（x+1）=x的平方+3x+1.

Answer 1

你这题是不是“已知f(x+1)=x^2+3x+1，求f(x)的解析式”啊？？

用待定系数法可以，但f(x+1)的表达式错了，难怪你有疑问。
f(x+1)应该等于 ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)，
所以 根据已知条件有 a+b+c=1 。

如果是那个错误的等式，当然确实应该是 c 与 1 对应。

其实，更简单的，应该用变量代换。
设 x+1=t，则 x=t-1，
所以，由已知 f(x+1)=f(t)=x^2+3x+1=(t-1)^2+3(t-1)+1=t^2+t-1
再用x替换上式的t，即得
f(x)=x^2+x-1

追问

的确是f（x+1）。。 就是这个、为啥就不能c与1直接对应呢？

追答

不是设 f(x)=ax^2+bx+c么，
那么 f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)，
不是你给出的 f(x+1)=ax^2+(2a+b)x+c，
如果按照错误的等式 ax^2+(2a+b)x+c=x^2+3x+1，
则确实是a=1，2a+b=3，c=1，
但这是错误的。。。。。。

追问

我有点傻了。。。 f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)，
这个怎么换得。。 c怎么变成a+b+c的。。

追答

a(x+1)^2+b(x+1)+c
=a(x^2+2x+1)+b(x+1)+c
=ax^2+2ax+a+bx+b+c
=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c)

追问

。。。。。

我郁闷了。。 原来是我算错了。。

追答

祝进步！

Answer 2

你给的答案过程好像有些问题，
如按你说的 ，应该是 c=1,不是a+b+c=1