Question

设函数f(x)=x^3+2ax^2+bx+a g(x)=x^2-3x+2,其中x∈R.a、b为常数。已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有

的切线。（1）求a、b .(2)若f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1＜x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)＜m(x-1)恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

（1）对两函数进行求导：f'(x)=3x^2+4ax+b,g(x)=2x-3，它们在点（2，0）处有共同切线L，所以：f'(2)=12+8a+b=g'(2)=1。另外，把点（2，0）代入f(x)方程得：8+9a+2b=0。两式联立可求：a=-2，b=5。由上述分析知：直线L斜率k=1，过点（2，0），所以方程为：y=x-2。
（2）由（1）知，f(x)=x^3-4x^2+5x-2，则f(x)+g(x)=x^3-3x^2+2x=mx，即：x(x^2-3x+2-m)=0
由题意，方程x^2-3x+2-m=0有两个不等实数根x1，x2。所以：Delta=(-3)^2-4(2-m)>0，解得：m>-1/4。接下来，由f(x)+g(x)<m(x-1)得：x(x-1)(x-2)<m(x-1)，即(x-1)(x^2-2x-m)<0。由上述分析，h(x)=x^2-3x+2-m=0对称轴为x=3/2，可知x2>1。当x2>x1>1时，区间的任意x>1，所以x^2-2x-m<0，设t(x)=x^2-2x-m=0两个根为x3,x4(x3<x4)，它的对称轴为x=1<x1<x2，t(x)<0对x∈[x1，x2]恒成立，则x4>x2，即[2+根号(4m+4)]/2>[3+根号(4m+1)]/2解得：m<0。当x2>1>x1时，x∈[x1，x2]可以大于1也可小于1，可知，当x1<=x<1时，x-1<0,因为1是t(x)的对称轴，必有一点x在离1足够近时使t(x)<0，这时：(x-1)t(x)>0与题设矛盾（不能恒成立）。所以第二种情况不存在。
综上：-1/4<m<0。