Question

高中数学值域问题

函数f（x）=√(1-x)+√(1+x)+1,求其值域
要有详细过程,最好用多种方法.
谢谢,回答得好我也会加分的

Answer 1

解法一：∵f(x)=√(1-x)+√(1+x)+1
∴1-x≥0,1+x≥0，即-1≤x≤1
∵√2+1≤√[2+2√(1-x^2)]+1≤√(2+2)+1=3
==>√2+1≤√[√(1-x)+√(1+x)]²+1≤3
又f(x)=√(1-x)+√(1+x)+1=√[√(1-x)+√(1+x)]²+1
∴√2+1≤f(x)≤3
故函数f(x)=√(1-x)+√(1+x)+1的值域是[√2+1,3]。
解法二：∵f(x)=√(1-x)+√(1+x)+1
∴1-x≥0,1+x≥0，即-1≤x≤1
∵f'(x)=(-1/2)/√(1-x)+(1/2)/√(1+x)
∴令f'(x)=0，求得x=0
∵f(-1)=√(1+1)+√(1-1)+1=√2+1；
f(0)=√(1-0)+√(1+0)+1=3；
f(1)=√(1-1)+√(1+1)+1=√2+1，
∴函数f(x)=√(1-x)+√(1+x)+1最大值是3，最小值是√2+1。
故函数f(x)=√(1-x)+√(1+x)+1的值域是[√2+1,3]。

Answer 2

我也刚上高一，定义域这块搞不懂。。对于√（1-x）+√（x-3）+1，
1-x大于等于0
x-3大于等于0（这样在根式里才有意义)
解出来X无解，所以F(x)=1 这就是值域

Answer 3

1-x>=0,x<=1
1+x>=0,x>=-1
-1<=x<=1
f（x）=√(√(1-x)+√(1+x))^2+1,
√2+1<=√2+2(1-x^2)+1<=3
√2+1<=f（x）<=3

追问

谢谢你，还有其他方法吗？不是求导公式的，我是高一的新生。
其实题目发错了，是 √（1-x）+√（x-3）+1
真的学到了。
如果还有可以追加，谢谢

追答

1-x>=0,x=0,x>=3
无解

Answer 4

√(1-x)>=0 √(1+x)>=0 所以f(x)>=1