Question

急求！！有加分！！二项式定理的证明！！谢谢

已知an=A1n+A2n+...+Ann,当n≥2时，求证:(1)a(n-1)+1=an/n
(2) (1+1/a1)(1+1/a2)...(1+1/an)≤3-1/n
A1n就是A的右上角是1，右下角是n，大家都懂的，急求啊，感谢~~

Answer 1

a(n-1)代表什么？an/n又代表什么？否则算出来不对。
按照正常理解：
利用二项式定理,已知条件两边同时加A(n,0)可得an=2^n-1
那么a(n-1)=2^(n-1)-1+1=2^(n-1) 1
而an/n=(2^n-1)/n 2
经用数学归纳法验证，是不成立的。

追问

a（n-1）的n-1是下标，就是a1，a2。。a（n-1）项，an/n就是第an项除以n，这题目应该是要成立的啊，麻烦再看一下吧，感谢啊~~

追答

突然看明白了。原来已知中是排列符号A，而非二项式定理中的组合符合C, 一直看错了。
由已知可得，a(n-1)=A1(n-1)+....A(n-1)(n-1)
同时乘以n可得：na(n-1)=n*A1(n-1)+....n*A(n-1)(n-1)=A2n+......Ann=an-A1n＝an-n
所以na(n-1)+n=an
同时除以n得a(n-1)+1=an/n

追问

请问 na(n-1)=n*A1(n-1)+....n*A(n-1)(n-1)=A2n+......Ann=an-A1n＝an-n 这个式子是怎么得到的

追答

把每个式子展开看看，n*A1(n-1)=n*(n-1)=A2n
n*A2(n-1)=n*[(n-1)*(n-2)]=A3n
依次类推：n*A(n-1)(n-1)=n*[(n-1)*.....*1)]Ann
又由已知得：an=A1n+A2n+...+Ann
所以：A2n+...+Ann＝an-A1n
A1n=n
所以A2n+...+Ann＝an-n