Question

如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上的一点，且∠BAE=2∠DAM，求证AE=BC+CE。

Answer 1

取BC中点N，过N作NH⊥AE，垂足H
M是CD的中点，可知BN=DM
易证ΔABN≌ΔADM
则有∠BAN=∠DAM
因∠BAE=2∠DAM
故AN平分角BAE
所以有NB=BH
由ΔABN≌ΔAHN可得AH=AB
由ΔNCE≌ΔNHE可得HE=CE
所以AE=AH+HE=AB+CE=BC+CE

另解：
延长AB至F，使BF=CE，连结EF交BC于N
证ΔBFN≌ΔCEN
可得N是BC的中点，也是EF的中点
再证ΔABN≌ΔADM
得∠BAN=∠DAM
因∠BAE=2∠DAM
故AN平分角BAE
所以AN是角平分线，又是中线
所以AE=AF=AB+BF=BC+CE