Question

求极限：lim(x→0）(1/x^2)[1-cosx(cos2x)^(1/2)(cos3x)^(1/3)...(cosnx)^(1/n)]

Answer 1

解：需要用到的知识点，等价无穷小+重要极限+洛必达法则
首先证明：当x→0，(cosnx)^(1/n) ~ 1-(n/2)*x^2 (等价无穷小）
这是因为，lim(x→0) cosnx/[1-(n/2)*x^2]^n，应用洛必达法则，上下同时求导，得
上式 = lim(x→0)(-nsinnx)/[n*[(1-(n/2)*x^2)^(n-1)]*(-n*x) = lim(x→0)sinnx/nx = 1

于是
所求极限的分子可等价于
1-cosx(cos2x)^(1/2)(cos3x)^(1/3)...(cosnx)^(1/n)
~1-(1-(1/2)*x^2)*(1-(2/2)*x^2)*...*(1-(n/2)*x^n) 展开
~1-(1-(1/2+2/2+3/2+...+n/2)*x^2 + o(x^4)) ~ (1/2+2/2+3/2+...+n/2)*x^2 - o(x^4)
因此所求极限=(1/2+2/2+3/2+...+n/2)=(n+1)*n/2/2 = n*(n+1)/4

追问

lim(x→0) cosnx/[1-(n/2)*x^2]^n，这个是不定式吗？能用罗比达法则吗？

追答

额 好像不要用哦，，

本来式子应该是这样写的 ，1-(cosnx)^(1/n) ~ (n/2)*x^2 【类似于1-cosx ~(x^2)/2一样】

追问

不过答案是对的，你的方法启发了我，只好把后面直接展成幂级数

追答

嗯。事实上，求极限，最好用的还是等价无穷小，多思考思考。