Question

如图所示,已知等腰△ABC中,AB=AC,P是底边BC上任意一点，过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F过点B作BD

解：连接AP
S△ABP+S△ACP=S△ACB
即：AB*PE/2+AC*PF/2=AC*BD/2
又 AB=AC
∴ AB*PE+AB*PF=AB*BD
即 PE+PF=BD

总结上述结论

Answer 1

（没配图，不会，请谅解！！！！！！！）
这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。
已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意点D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC
求证： DE＋DF＝BH
证法一：
连接AD
则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2
而△ABC的面积＝BH*AC/2
所以：DE＋DF＝BH
即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二：
作DG⊥BH，垂足为G
因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH＝DF
因为AB＝AC
所以∠EBD＝∠C
因为GD//AC
所以∠GDB＝∠C
所以∠EBD＝∠GDB
又因为BD＝BD
所以△BDE≌△DBG（ASA）
所以DE＝BG
所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH
证法三：
提示：
过B作直线DF的垂线，垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用面积方法和三角函数也能进行证明
解：
作BH⊥AC（即作等腰三角形一腰上的高）
1）
三者的关系是：DE＋DF＝BH
证法一：
连接AD
则△ABC的面积
＝△ABD的面积＋△ACD的面积
＝AB*DE/2＋AC*DF/2
因为AB＝AC
所以AB*DE/2＋AC*DF/2
＝(DE＋DF)*AC/2
而△ABC的面积＝BH*AC/2
所以：DE＋DF＝BH
（即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高）
证法二：
作DG⊥BH，垂足为G
因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH＝DF
因为AB＝AC
所以∠EBD＝∠C
因为GD//AC
所以∠GDB＝∠C
所以∠EBD＝∠GDB
又因为BD＝BD
所以△BDE≌△DBG（ASA）
所以DE＝BG
所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH
证法三：
提示：
过B作直线DF的垂线，垂足为M
运用全等三角形同样可证
2）
如果D在BC或CB的延长线上，
有下列结论：|DE－DF|＝BH
证明方法与上面的类同，下面将D在BC延长线的情形证明一下：
连接AD
则△ABC的面积
＝△ABD的面积－△ACD的面积
＝AB*DE/2－AC*DF/2
因为AB＝AC
所以AB*DE/2－AC*DF/2
＝(DE－DF)*AC/2
而△ABC的面积＝BH*AC/2
所以：DE－DF＝BH
（即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之差等于腰上的高）
如果D在CB的延长线上，则结论是：DF－DE＝BH
将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。

如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的
如图，已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC三边AB\AC\BC(或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，三角形ABC的高为h。

解答提示：
如图，过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H，作HQ⊥AG
先证明PD＋PE＝HQ
（见：）
而HQ＝AN，FP＝MN
所以PD＋PE－PF
＝AN－PF
＝AM＋MN－PF
＝AM
即h1＋h2－h3＝h

另外一个变式问题：
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F。
（1）当∠A＝30°时，求证：PE+PF＝BC
（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明：如果不正确，请说明理由。

腰长5厘米 底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe=
解：
作底边BC上的高AM，设腰上的高＝h，连接PA
因为AB＝AC＝5，BC＝6
所以BM＝CM＝3
所以根据勾股定理得AM＝4
因为S△ABC＝BC*AM/2＝AB*h/2＝12
所以h＝24/5
因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP
＝AB*PD/2＋AC*PE/2
所以5*PD/2＋5*PE/2＝12
所以PD＋PE＝24/5
如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。
解：

设AC、BD交于O，作AE⊥BD，PM⊥AC，PN⊥BD，连接OP
因为AB＝8，BC＝AD＝15
所以根据勾股定理得BD＝17
因为S△ABC＝AB*AD/2＝AE*BD/2
所以可得AE＝120/17
因为四边形ABCD是矩形
所以OA＝OD
因为S△OAD＝S△OPA＋S△OPD
＝OA*PM/2＋OD*PN/2
＝（PM＋PN）*OD/2
S△OAD＝AE*OD/2
所以PM＋PN＝AE＝120/17

Answer 2

结论:底边上任意一点到两腰距离的和等于等腰三角形一腰上的高.

Answer 3

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