Question

y=(x^2-2x+2)/x的值域

同志们，我忘了写定义域为（0，1/4]，对不起啊~~麻烦再给我个正正正确答案~~~

Answer 1

本来是不准备回答的，看到上面的这些人回答误导他人，不等式的应用是前提x,y都大于0！
方法 一：可以利用对勾函数方法求解。
y=x+2/x-2,
∵x+2/x在(-∞,-2√2]U[2√2,+∞)
∴y∈(-∞,-2√2-2]U[2√2-2,+∞)
方法二：
判别式法。
xy=x²-2x+2,故x²-(y+2)x+2=0.由△=(y+2)²-8≥0,故y≤-2√2-2或y≥2√2-2
y∈(-∞,-2√2-2]U[2√2-2,+∞)
方法三：不等式法
【要分类讨论，x>0,x<0.略】

定义域限制，用对勾函数法（就是求导推出来的）：
y=x+2/x-2,x∈(0,1/4]
y'=1-2/x²=(x+√2）（x-√2）/x²
函数在(0,1/4]，f'(x)<0,故f(x)此区间内为减函数，故f(x)min=f(1/4)=25/4
∴[25/4,+∞）

Answer 2

y=(x^2-2x+2)/x
=x-2+2/x
=(x+2/x)-2
≥2√2-2
当x=2/x时，x=±√2，取=

追问

2√2是不是从对勾函数来的？还有题目还给了定义域为（0,1/4]那答案又为多少呢？

Answer 3

y=(x^2-2x+2)/x
=x-2+2/x
=(x+2/x)-2
用基本不等式x+2/x≥2√2
当且仅当x=2/x即x=±√2时，取等号
所以：y≥2√2-2 或y≤-2√2-2