Question

如果函数f(x)=x+a/x+1在区间（－∞，0）上是增函数，则a的取值范围是？

接上：求该题的详细解答过程及答案，急！！回答具体的，根据具体情况再额外追加悬赏分5~50分，谢谢！！！

Answer 1

①求导
f(x)=x+a/x+1
原函数的导函数Y(x)=1-a[x^(-2)]
x^(-1)=1/x，x^(-2)=1/(x²)
②用题目条件限定范围
因为函数f(x)在区间（－∞，0）上是增函数
所以导函数Y(x)在区间（－∞，0）大于0
当x<0时，1-a[x^(-2)]≥0
a[x^(-2)]≤1
a≤x²
所以只有a≤0时，a≤x²恒成立
所以a的取值范围是a≤0

希望能帮到你，望采纳！！

追问

谢谢!!但是我们老师讲解的时候是求的a≤2，请问阁下能解释吗？

追答

应该是使用了基本不等式
x+（1/x）≥2根号【x乘（1/x）】
再加上函数是关于（0,1）对称求出的

追问

谢谢！！函数是关于（0,1）对称?

追答

因为y=x+a/x是关于（0，0）对称的
y=x+a/x+1是y=x+a/x上移得到的，所以对称点也上移了，变成（0,1）

Answer 2

a=0,f(x)=x+1,在区间（－∞，0）上是增函数
a<0,x和a/x均在（-∞，0）上为增，故f(x)为增
a>0.f‘(x)=1-a/x²=(x+√a)(x-√a)/x²，故在(-∞,-√a)，f'(x)>0为增;(-√a,0)，f'(x)<0,为减；所以此时不符合题意
∴a≤0

Answer 3

函数f(x)=x+[a/(x+1)]
求导,f'(x)=1-[a/(x+1)²]
由题设可知,当x＜0时,恒有
1≥a/(x+1)²
∴恒有(x+1)²≥a
∴a≤0.