Question

如图△ABC是圆O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（C不与A、B重合），设<AOB=α，<C=β

如图△ABC是圆O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（C不与A、B重合），设<AOB=α，<C=β。

（1）当α=35°时，求β的度数

（2）猜想α与β之间的关系，并给与证明。
题打错了一个地方，应该是设∠OAB=α

Answer 1

这是同弧上的圆心角和圆周角的关系，有定理：

在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角是圆心角的一半。

α=2β

当 α=35º  时

β=17.5º 

如图，圆O是三角形ABC的外接圆，

<AOB=α .<C= β

求证：α=2β

 延长AO交圆O于D，连接BD，

AD过圆心，则AD是直径，于是<ABD是直角，且<D=<C=β(同弧上的圆周角相等）

在直角三角形ABD中，OA=OB=OD

于是<OBD=<D=β

那么，<AOB=<OBD+<D=2β

所以，α=2β

Answer 2

(1)连接OB
∵OA=OB
∴∠OBA=∠OAB=35°
∵∠AOB+∠OBA+∠OAB=180°
∴∠OAB=110°
∴∠C=1/2 ∠OAB=55°
∴β=55°
(2)β+α=90°
证明：∵OA=OB
∴∠OBA=∠OAB=α
∵∠AOB+∠OBA+∠OAB=180°
∴∠OAB=180°-2α
∴∠C=1/2 ∠OAB=90°-α
∴β=90°-α
∴β+α=90°

Answer 3

这是同弧上的圆心角和圆周角的关系，有定理：
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角是圆心角的一半。
α=2β
当 α=35º 时
β=17.5º
如图，圆O是三角形ABC的外接圆，
<AOB=α .<C= β
求证：α=2β
延长AO交圆O于D，连接BD，
AD过圆心，则AD是直径，于是<ABD是直角，且<D=<C=β(同弧上的圆周角相等）
在直角三角形ABD中，OA=OB=OD
于是<OBD=<D=β
那么，<AOB=<OBD+<D=2β
所以，α=2β

证明的思路：假定A 、B是不动的 ， C无论如何动角度都不会变化 ， 那就可以把C固定到AO上就行了【 弄成一个直角三角形ABC了】

Answer 4

证明的思路：假定A 、B是不动的 ， C无论如何动角度都不会变化 ， 那就可以把C固定到AO上就行了【 弄成一个直角三角形ABC了】