Question

证明：如果(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<1，则△ABC为钝角三角形

还有：｛如果a+b+c<=90°
则a,b,c均为锐角
则cos(a-b)>cos(a+b)
1=(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2
=1-(cosa)^2+(sinb)^2+(sinc)^2
=1-cos(a+b)cos(a-b)+(sinc)^2
<1-[cos(a+b)]^2+(sinc)^2
即[cos(a+b)]^2<(sinc)^2
0<a+b<90 0<c<90
cos(a+b)<sinc
而：a+b+c<=90 0<c<=90-a-b<90
sinc<=sin(90-a-b)=cos(a+b)
得出矛盾！因此假设不成立！｝都用了什么公式和知识点啊，教下)>-<(!

Answer 1

如果sin^2A+sin^2B+cos^2C＜1，那么可得 sin^2A+sin^2B＜sin^2C
由正弦定理可得 a^2+b^2＜c^2
再由余弦定理可得 cosC＜0，C为钝角
所以命题成立。

追问

能详细点吗？那2ba你咋知道是正的呢？正弦可以那的用吗？

追答

哪里不懂？

追问

再由余弦定理可得 cosC＜0光知道了a^2+b^2-c^2,还不知道2ba的正负呀

追答

如果sin^2A+sin^2B+cos^2C＜1，那么可得 sin^2A+sin^2B＜1-cos^2C
1-cos^2C=sin^2C 所以可得 sin^2A+sin^2B＜sin^2C=====1
由正弦定理变形式 sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2R======2
结合1，2，则有a^2+b^2<c^2
再由余弦定理可得 cosC＜0，C为钝角
所以命题成立。

你的题：如果(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<1，则△ABC为钝角三角形可以这样来证
先证sin^2A+sin^2B+sin^2C=2+2cosAcosBcosC 成立
则有 2+2cosAcosBcosC <1 即 cosAcosBcosC<-1/2 <0
则判定cosAcosBcosC中必有一值<0 ，，即A,B,C必有1为钝角，原命题成立..

要证sin^2A+sin^2B+sin^2C=2+2cosAcosBcosC成立
即证sin^2A=2-sin^2B-sin^2C+2cosAcosBcosC成立
右式=2-sin^2B-sin^2C+2cosAcosBcosC=cos^2B+cos^2C+2cos（π-B-C）cosBcosC
=cos^2B+cos^2C-2cos（B+C）cosBcosC=cos^2B+cos^2C-2（cosBcosC-sinBsinC）cosBcosC
=cos^2B+cos^2C-2cos^2Bcos^2C+2sinBsinCcosBcosC
=（cos^2B-cos^2Bcos^2C）+（cos^2C-cos^2Bcos^2C）+2sinBsinCcosBcosC
=cos^2Bsin^2C+cos^2Csin^2C+2sinBsinCcosBcosC
=(cosBsinC+cosCsinC)^2
=sin^2（B+C）=sin^2（π-A）=sin^2A 即证