Question

如图，直角三角形ABC中，角C=90度，BC=6，AC=8，点P,Q都是斜边AB上的动点

如图，直角三角形ABC中，角C=90度，BC=6，AC=8，点P,Q都是斜边AB上的动点（不与点B重合),点P从B向A运动，BP=AQ，点D,E分别是点A,B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H。当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动。设BP的长为x，三角形HDE的面积为y。
（1）求证：三角形DHQ∽三角形ABC；
（2）求Y关于X的函数解析式和Y的最大值；
（3）当X为何值时，三角形HDE为等腰三角形？

Answer 1

（1）证明：

∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，

∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，

∴∠HDQ=∠A，

∴△DHQ∽△ABC

（2）当0＜x≤2.5时，

      ED=10-4x，QH=AQtan∠A= 3x/4，

      此时y= 1/2*(10-4x)*3/4x=- 3/2x^2+ 15x/4

      当x= 5/4时，最大值y= 75/32，

   当2.5＜x≤5时，

    ED=4x-10，QH=AQtan∠A= 3x/4

    此时y= 1/2*(4x-10)* 3x/4= 3x^2/2-15x/4．

    当x=5时，最大值y= 75/4；

∴y与x之间的函数解析式为y= -3x^2/2+15x/4(0＜x≤2.5)

                                          y= 3x^2/2-15x/4(2.5＜x≤5)，

   y的最大值是 75/4

（3）当0＜x≤2.5时，

       若DE=DH，∵DH=AH= QA/cos∠A= 5x/4，DE=10-4x，

        ∴10-4x= 5x/4，x= 40/21．

       显然ED=EH，HD=HE不可能

    当2.5＜x≤5时，

       若DE=DH，4x-10= 5x/4，x= 40/11；

若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=5；

若ED=EH，则∠ADH=DHE，

又∵点A、D关于点Q对称，

∴∠A=∠ADH，

∴△EDH∽△HDA，

∴ ED/DH= DH/AD，x= 320/103，

∴当x的值为 40/21， 40/11，5， 320/103时，△HDE是等腰三角形

Answer 2

（1）， 证明：因为D是A点以Q点为对称中心的对称点，故AQ=DQ。
又HQ吹垂直AB，所以在三角形AHD中，HQ是AB的高，且是AB 的中线，
故三角形AHD是等腰三角形，角A=角HDQ，
又角C=角HQD=90 度，
所以三角形DHQ∽三角形ABC。

（2）， 因为三角形DHQ∽三角形ABC，所以HQ：QD=BC：CA，
HQ=3/4*QD，又QD=AQ=BP=x，HQ=3/4*x，
三角形HDE的面积y为：y=1/2*3/4*x*X=3/8*x^2，
即Y关于X的函数解析式为：y=3/8*x^2。
因为当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动，
且点E是点B以P为对称中心的对称点，点P不与点B重合，BP=x，
AB=10，
所以x的取值范围为：0<x<=5，
y的最大值是：当x=5时，y=75/8。
（3）， 要使三角形HDE为等腰三角形，即ED=DH=AH=BP=x，
因为点D,E分别是点A,B以Q，P为对称中心的对称点，
BP=1/2BE，BE=2x；
DQ=1/2AD，AD=2DQ。
在直角三角形DQH中，DH=x，HQ=3/4x，
故DQ=根号7* X/4 ，
AD=根号7* x/2，而AD+DE+EB=AB，即：根号7* x/2+x+2x=10，
解方程，得：X=20（6-根号7）/29，
所以当X=20（6-根号7）/29时，三角形HDE为等腰三角形。

追问

第（2）小题，你好象求的是三角形HDQ的面积，它与HDE的面积相等吗？

追答

相等啊，等底同高嘛

追问

题目中没告诉我们ED=DQ呀

追答

2：y=1/2DE*HQ
DE=10-4x
HQ/BC=x/8
所以HQ=3/4x
所以y=1/2(10-4x)3/4x
化简得y=-3/2x^2+15/4x 0<x<=5
求导，求顶点，得
y在0到5 /4上单调递增
y在5/4到5上单调递减
所以y的最大值在5/4上取到，即y的最大只是75/32

3：HED为等腰三角形 必有ED=DH
ED=10-4x
DH=AH=根号下x^2+HQ^2
HQ=3/4x
所以10-4x=根号下x^2+(3/4X)^2
x=40/9或者x=-40（舍去）
所以x=40/9
现在对吗？

Answer 3

我才上初二，开学一个月才