Question

在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n.

1.设bn=an/n,求数列｛bn｝的通项公式
2.求数列{an}的前n项和s

Answer 1

解：（1） A(n+1)=(1+1/n)An+(n+1)/2^n.，即A(n+1)＝[(n+1)/n ] / An＋(n+1)/2^n.
两边同除以(n+1) ，就得到了B(n+1)＝Bn＋1/2^n，即
B(n+1)－Bn＝1/2^n ，其中B1＝A1/1 ＝1
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∴当n≥2时，有 Bn－B(n-1)＝1/2^(n-1)
无穷往下写 B(n-1)－B(n-2)＝1/2^(n-2)
B(n-2)－B(n-3)＝1/2^(n-3)
。。。。。。。。。。。
B3－B2＝1/2^2
B2－B1＝1/2^1
将以上式子相加，(左边大量抵消，右边是等比求和)
得 Bn－B1＝ 1－1/2^(n-1) (n≥2)
移项，得Bn＝2－1/2^(n-1) (n≥2)
当n=1时，B1＝A1/1 ＝1 也满足刚才的公式
∴Bn＝2－1/2^(n-1) (n∈N*)

（2）由于Bn=An/n ，所以An＝n·Bn＝2n－n/2^(n-1)
观察可知，An由两部分构成，第一部分{2n}是一个等差数列，直接有求和公式。
第二部分{ n/2^(n-1) } ，是经典的 {等差×等比} 类型的求和，用错位相减法可以求出这一部分的和。最后两部分相减，得到了An的前n项和。 第二问只给思路，你自己解。

Answer 2

①由a(n+1)=(1+1/n)a(n)+(n+1)/2^n，可得a(n+1)/(n+1)-a(n)/n=2(-n)。
②b(n)=a(n)/n，上式可化成，b(n+1)＝b(n)+2^(-n)，b(1)=1。
③记c(n)=b(n)+2^(1-n)，即b(n)=c(n)-2^(1-n)，则上式可化为 c(n+1)=c(n)，c(1)=2。
④由可得，对一切n恒有c(n)=2。所以b(n)=2-2^(1-n)。
⑤a(n)=n*b(n)=2n-n*2^(1-n)。
⑥S(n)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+a(5)+……+a(n)
=(2+4+6+8+10+……+2n)-(1+2/2+3/4+4/8+5/16+……+n/2^(n-1)]，
⑦S(n)=2*S(n)-S(n)
=(2+4+6+8+10+……+2n)
-[2+(2-1)+(3-2)/2+(4-3)/4+(5-4)/8+……+(n-n+1)/2^(n-2)]
+n/2^(n-1)
=n(n+1)-2-[1+1/2+1/4+1/8+……+1/2^(n-2)]+n/2^(n-1)
=n(n+1)-2-[2-1/2^(n-2)]+n/2^(n-1)
=(n^2+n-4)+(n+2)/2^(n-1)。

Answer 3

a(n+1)=(n+1)a(n)/n + (n+1)/2^n,
a(n+1)/(n+1)=a(n)/n + 1/2^n,
b(n)=a(n)/n,
b(n+1)=b(n)+1/2^n,
2^nb(n+1)=2*2^(n-1)b(n)+1,
c(n)=2^(n-1)b(n),
c(n+1)=2c(n)+1,
c(n+1)+1=2c(n)+2=2[c(n)+1],
{c(n)+1}是首项为c(1)+1=b(1)+1=a(1)+1=2,公比为2的等比数列.
c(n)+1=2*2^(n-1)=2^n=2^(n-1)b(n)+1,
b(n)=2-1/2^(n-1)
2-1/2^(n-1)=[2^n-1]/2^(n-1)=b(n)=a(n)/n,
a(n)=n[2^n-1]/2^(n-1)=2n-n/2^(n-1)
s(n)=2[1+2+...+n] - [1/1 + 2/2 + 3/2^2 + ... + (n-1)/2^(n-2) + n/2^(n-1)]
=n(n+1) - t(n),
t(n)=1/1 + 2/2 + 3/2^2 + ... + (n-1)/2^(n-2) + n/2^(n-1)
2t(n)=2/1 + 2/1 + 3/2 + ... +(n-1)/2^(n-3) + n/2^(n-2),
t(n)=2t(n)-t(n)=2/1 + 1/1 + 1/2 + ... + 1/2^(n-2) - n/2^(n-1)
= 2 - n/2^(n-1) + [1-1/2^(n-1)]/[1-1/2]
= 2 - n/2^(n-1) + 2 - 2/2^(n-1)
=4 -(n+2)/2^(n-1).
s(n)=n(n+1)-t(n)=n(n+1)-4+(n+2)/2^(n-1)

Answer 4

解：
(1)
a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n=(n+1)an/n+(n+1)/2^n
a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n
a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
an/n-a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1)
…………
a2/2-a1/1=1/2
累加
an/n-a1/1=1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)=(1/2)[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)=1-1/2^(n-1)
an/n=a1/1+1-1/2^(n-1)=1+1-1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)
n=1时，a1=2-1/1=1，同样满足。
bn=an/n=2-1/2^(n-1)
数列{bn}的通项公式为bn=2-1/2^(n-1)
(2)
an=2n-n/2^(n-1)
Sn=a1+a2+...+an=2(1+2+...+n)-1/2^0-2/2^1-3/2^2-...-n/2^(n-1)
令Tn=1/2^0+2/2^1+3/2^2+...+n/2^(n-1)
则Sn=2(1+2+...+n)-Tn=n(n+1)-Tn=n²+n-Tn
Tn/2=1/2^1+2/2^2+3/2^3+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
Tn-Tn/2=Tn/2=1/2^0+1/2^1+...+1/2^(n-1)-n/2^n
=(1-1/2^n)/(1-1/2)-n/2^n
=1/2-(1/2)/2^n-n/2^n
Tn=1-1/2^n-2n/2^n=1-(2n+1)/2^n
Sn=n²+n-1+(2n+1)/2^n

Answer 5

(1)同除n+1
b[n+1]=b[n]+1/2^n
b[1]=1
b[n]=2-1/2^(n-1)
(2)a[n]=2n-2n/2^(n-1)
然后就是简单求和了
要是哪不会我再详细点
全不会我就没办法了