Question

高中椭圆数学题

椭圆方程为x^2/4+y^2=1 过点B(-1,0)能否做出直线l,使l与椭圆C交与M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O？若存在，求出L方程

Answer 1

设方程为L,斜率为k,y=k(x+1),代入x²/4+y²=1,故(4k²+1)x²+8k²x+4k²-4=0
设点M(x1,y1)N(x2,y2)
x1x2=(4k²-4）/(4k²+1).y1y2=k(x1+1)k(x2+1)=k²x1x2+k²(x1+x2)+k²=(-3k²）/(4k²+1).
∵以MN为直径的圆经过坐标原点O
∴向量OM*向量ON=0,即x1x2+y1y2=0.故4k²-4-3k²=0
解得k=±2
若斜率不存在，则当x=-1,y=±√3/2,不能使l与椭圆C交与M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O
故L方程为y=2x+2或y=-2x-2

Answer 2

你先假设存在，设出圆的圆心（m，n），圆心在l上，且l过（-1，0），可以得到l的方程。
然后联立只限于椭圆方程，解出直线与椭圆的交点，判断原点与圆心、交点的距离，确定圆心就能确定l的方程。过程自己写一下就好了。注意圆心应该位于椭圆内部。

Answer 3

设出圆的圆心（m，n）圆心在l上，且l过（-1，0），可以得到l的方程。
然后联立只限于椭圆方程，解出直线与椭圆的交点，判断原点与圆心、交点的距离，确定圆心就能确定l的方程。过程自己写一下就好了。注意圆心应该位于椭圆内部

Answer 4

因为直线过（-1,0）所以设为y=kx+k
联立椭圆方程得到（2k^2+1）x^2+4k^2x+2k^2-4=0
要使MN为直径的圆经过坐标原点O
则需圆心到m，n，o，距离相等，设圆心为a
ao=根号下（（（x1+x2）/2）^2+（（y1+y2）/2）^2）
mn=根号下(（x1-x2）^2+(y1-y2)^2)
利用根系关系和ao=mn/2
可以解得2k^4+9k^2+4=0
k^4，k^2均大于0所以不存在k满族上式
即不能