Question

高中数学椭圆题

椭圆x2/a2+y2/b2=1的左右焦点分别为F1F2 M N是x=a2/c上的两个动点 F2M⊥F2N

设C使以MN为直径的圆判断原点O与圆C的位置关系

Answer 1

不妨设M(a^2/c，y1)，N(a^2/c，y2)，
由F2(c，0)且F2M丄F2N可得F2M^2+F2N^2=MN^2，
即 (a^2/c-c)^2+y1^2+(a^2/c-c)^2+y2^2=(y1-y2)^2，
化简得 b^4/c^2=-y1*y2。
而C(a^2/c，(y1+y2)/2)，r=|y1-y2|/2，
所以，由
OC^2-r^2
=[(a^2/c)^2+(y1+y2)^2/4]-(y1-y2)^2/4
=a^4/c^2+(y1^2+y2^2+2y1*y2)/4-(y1^2-2y1*y2+y2^2)/4
=a^4/c^2+y1*y2
=a^4/c^2-b^4/c^2
=a^2+b^2
>0，
可得 OC>r，
即原点O在圆C外。
(事实上，圆C恒过F2，而直线x=a^2/c是椭圆的右准线，O在F2的左侧，因此O在圆C外）

Answer 2

相切

Answer 3

圆心必定在的右准线上，F2M垂直于F2N，F2在圆上，显然准线上任何一点到F2都比到O点近，所以在圆外。