Question

已知函数f(x)对任意实数a,b有f(a)≠0f(a+b)=f(a)f(b)，当x＜0时，f（x）＞ 1

（1）求证：f（x）＞0；（2）求证f（x）为减函数； （3）当f（4）=1/16时,解不等式f(x-3)f(x-5)≤1/4
高一数学 若函数f(x)=(x+a)(bx+a)(常数a,b∈R)是偶函数，且f(x)≤4，则函数的解析式是多少？
函数f(x)的定义域为d,若对任意x1,x2属于d,当x1<x2时。都有f(x1)<=f(x2)，则函数f(x)在d上为非减函数。设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足下列三个条件 F(0)=0 F(X/3)=1/2F(X), F(1-X)=1-F(X) 求F（1/3)+F(1/8)的值

Answer 1

1) 取a=b=0，则 f(0)=[f(0)]^2，由于f(0)≠0，所以解得 f(0)=1；
取a=x，b=-x，则 f(0)=f(x)*f(-x)=1，
所以，f(x)=1/f(-x) （*）

由已知，当x<0时，f(x)>1>0，
当x=0时，f(0)=1>0
当x>0时，-x<0，则由（*）式可得 f(x)=1/f(-x)>0，
因此，总有 f(x)>0.

2) 对任意实数 x1<x2，因为
f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)
=f(x1-x2)*f(x2)-f(x2)
=f(x2)*[f(x1-x2)-1]
由1)知，f(x2)>0，
又x1-x2<0，所以，f(x1-x2)>1，f(x1-x2)-1>0，
因此，f(x1)-f(x2)>0，
即 f(x1)>f(x2)，
所以，f(x)是减函数。

3) 由于f(4)=f(2+2)=f(2)*f(2)=1/16，且f(2)>0，所以，f(2)=1/4，
因此，由 f(x-3)f(x-5)<=1/4得
f(2x-8)<=f(2)，
由f(x)是减函数可得 2x-8>=2，
解得 x>=5。

补充题：
f(x)=bx^2+(2a+ab)x+2a^2，
因为函数为偶函数，所以，2a+ab=0 （1）
又 f(x)<=4，所以，
b<0，且 2a^2=4 （2）
由（1）（2）解得 a=±√2，b=-2，
所以，f(x)=-2x^2+4。

追问

当x>0时，-x0 这句我不太明白

追答

就是要证明 x>0时，f(x)也大于0。
但直接证明有点困难，所以，借助于 f(x)=1/f(-x)，转化为已知条件：x1。
这样，当 x>0时，-x1
则 f(x)=1/f(-x)不就大于0了么？

Answer 2

(1)证明：
令a=b=0
有f(0)=f(0)*f(0)
∵f(a)≠0
∴f(0)=1
令a<0,b=-a
则f(0)=f(a)*f(-a)=1
∵f(a)>1 ∴0<f(-a)<1
综上所述f(x)>0
(2)证明：任取x1,x2∈R，且x1<x2
f(x2)=f(x1)f(x2-x1)
f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)
∵x1<x2 ∴f(x2-x1)<1
∴f(x2)/f(x1)<1
∵f(x)>0
∴f(x2)<f(x1)
∴f(x)为减函数
(3)解：
f(4)=f(2)f(2)=1/16
f(x)>0
∴f(2)=1/4
∵f(a+b)=f(a)f(b)
∴f(x-3)f(x-5)=f(2x-8)≤1/4=f(2)
∵f(x)为减函数
∴2x-8≥2
x≥5

补充：
∵f(x)为偶函数
∴f(x)=f(-x)
(x+a)(bx+2a)=(-x+a)(-bx+2a)
a(2+b)=0
∵f(x)≤4
f(x)=bx^2+2a^2
∴b<0,2a^2=4
∴a≠0
∴b+2=0
b=-2
∴f(x)=-2x^2+4

追问

f(x)=bx^2+2a^2
这句不太明白

追答

f(x)=(x+a)(bx2a)=bx^2+(2a+ab)x+2a^2
∵2a+ab=0
∴f(x)=bx^2+2a^2

Answer 3

1) 令a=b=0，则 f(0)=[f(0)]^2，由于f(0)≠0，所以解得 f(0)=1；
取a=x，b=-x，则 f(0)=f(x)*f(-x)=1，
所以，f(x)=1/f(-x) （*）

由已知，当x<0时，f(x)>1>0，
当x=0时，f(0)=1>0
当x>0时，-x<0，则由（*）式可得 f(x)=1/f(-x)>0，
因此，总有 f(x)>0.

2) 对任意实数 x1<x2，因为
f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)
=f(x1-x2)*f(x2)-f(x2)
=f(x2)*[f(x1-x2)-1]
由1)知，f(x2)>0，
又x1-x2<0，所以，f(x1-x2)>1，f(x1-x2)-1>0，
因此，f(x1)-f(x2)>0，
即 f(x1)>f(x2)，
所以，f(x)是减函数。

3) 由于f(4)=f(2+2)=f(2)*f(2)=1/16，且f(2)>0，所以，f(2)=1/4，
因此，由 f(x-3)f(x-5)<=1/4得
f(2x-8)<=f(2)，
由f(x)是减函数可得 2x-8>=2，
解得 x>=5。
补：不明白

Answer 4

合乎

Answer 5

其实f（x）是指函数（如0.5的x次方），不过是不能说的秘密罢了。
证：(1)取a=x/2,b=x/2.
f(x)=f(x/2)*f(x/2)=f(x/2)2>0
(2)f(0+x)=f(0)f(x)(f(x)≠0)
f(0)=1
令a>b
f(b)=f(a+(b-a))=f(a)f(b-a) 则 f(b)/f(a)=f(b-a)
因为b-a<0 则 f(b-a)>1
则 f(b)>f(a)
(3)因为f(2)*f(2)=f(4)=1/16
则f(2)=1/4
f(x-3)f(x-5)=f(2x-8)≤1/4=f(2)
f(x)为减函数，则2x-8>=2
则x>=5