Question

已知函数f(x)对任意实数a,b有f(a)≠0,f(a+b)=f(a)f(b

已知函数f(x)对任意实数a,b有f(a)≠0,f(a+b)=f(a)f(b)，当x＜0时，f（x）＞ 1 （1）求证：f（x）＞0；（2）求证f（x）为减函数； （3）当f（4）=1/16时,解不等式f(x-3)f(x-5)≤1/4

Answer 1

已知函数f(x)对任意实数a,b有f(a)≠0,f(a+b)=f(a)f(b)，当x＜0时，f（x）＞ 1 （1）求证：f（x）＞0；（2）求证f（x）为减函数； （3）当f（4）=1/16时,解不等式f(x-3)f(x-5)≤1/4

因为f（x）对一切实数，a，b都满足f(a+b)=f(a)+f(b)
所以当a=3,b=0时，f(3)=f(3)+f(0)
所以f(0)=0
有因为可取到b=-a
则f(0)=f(a)+f(-a)=0
所以f(a)=-f(-a)
所以f（x）是奇函数

2、因为f(a+b)=f(a)+f(b)
所以f(2x)=2f(x)
又因为x>0时，f（x）<0,
f(2x)-f(x)=f(x)<0
所以f(2x)<f(x)
又因为2x>x>0
所以f（x）为单调递减函数

3、因为f（x）为单调递减函数
所以f（x）在-12（可以等于）与12（可以等于）之间的
最小植=f(12)=2f(6)=4f（3）=8
最大植=f(-12)=-f(12)=-8

Answer 2

(1)证明：f(a+b)=f(a)f(b)
令a=b=0得f(0)^2-f(0)=0，因f(0)≠0,故f(0)=1
令b=-a得f(a)f(-a)=f(0)=1,所以f(a)=1/f(-a)
设x>0则-x<0,所以0<f(x)=1/f(-x)<1
综上有f(x)>0
(2)证明：设x1>x2则f(x1-x2)=f(x1)f(-x2)=f(x1)/f(x2)<1,所以f(x1)<f(x2)
故f(x)递减
(3)因为f(4)=1/16=f(2+2)=f(2)f(2)
所以f(2)=1/4
f(x-3)f(x-5)≤1/4
f(2x-8)<=f(2)
2x-8>=2
x>=5

Answer 3

a,b有f(a)≠0,f(a+b)=f(a)f(b)，当x＜0时，f（x）＞ 1 （1）求证：f（x）＞0；（2）求证f（x）为减函数； （3）当f（4）=1/16时,解不等式f(x-3)f(x-5)≤1/4