Question

一道关于极限的问题

评注看的不是很明白，为什么不能替换呢？不是可以各个部分分别求极限吗？
不好意思啊，图片可能看不清楚，题目是这样的：lim[e/(1+1/x)^x]^x，x趋于正无穷，我不明白的是为什么不能根据重要极限把(1+1/x)^x替换成e呢？

Answer 1

看不清你的图，lz也不自己抄一遍清楚点

求极限的时候，很多时候不能随便替换，有些被替换的表达式 会有一些余项，也就是经常出现在 O(x)之类表达式内的无穷小量， 对结果有影响，

追问

不好意思啊，题目是这样的：lim[e/(1+1/x)^x]^x，x趋于正无穷，我不明白的是为什么不能根据重要极限把(1+1/x)^x替换成e呢？

追答

因为对于任意一个很大的x，(1+1/x)^x都不严格等于e，这个微小的差异，在外面一层的[e/(1+1/x)^x]^x都被无限放大了，如果你直接替换成e，外层^x将失去了那个微小的差异，极限就是1，显然最终答案不是1，验证你这种替换是不对的
替换只有在无穷小对最终结果无影响时才能进行