Question

求数列通项公式

A（n+1）=（2An +1）/（An +2）
A1=2
求通项公式An

注：第一个A（n+1）是这个数列的n+1项，后面的都是第n项

Answer 1

a(n+1)=[2a(n)+1]/[a(n)+2],
a(n+1)-1=[a(n)-1]/[a(n)+2],
若a(n+1)=1,则a(n)=1,...,a(1)=1与a(1)=2矛盾.
因此, a(n)不为1.
1/[a(n+1)-1] = [a(n)+2]/[a(n)-1] = 3/[a(n)-1] + 1,
b(n)=1/[a(n)-1],
b(n+1)=3b(n)+1,
b(n+1)+1/2=3b(n)+3/2=3[b(n)+1/2],
{b(n)+1/2}是首项为b(1)+1/2=1/[a(1)-1]+1/2=3/2,公比为3的等比数列.
b(n)+1/2=(3/2)3^(n-1)=3^n/2,
1/[a(n)-1]=b(n)=[3^n-1]/2,
a(n)-1=2/[3^n-1],
a(n)=1 + 2/[3^n-1] = [3^n+1]/[3^n-1]

Answer 2

A(n+1)+1=(2An+1+An+2)/(An+2)=3(An+1)/(An+2)
A(n+1)-1=(2An+1-An-2)/(An+2)=(An-1)/(An+2)
两式相除：[A(n+1)+1]/[A(n+1)-1]=3[(An+1)/(An-1)]
所以{(An+1)/(An-1)}是公比为3的等比数列
首项=(A1+1)/(A1-1)=3
所以(An+1)/(An-1)=3*3^(n-1)=3^n
An+1=3^n(An-1)
(3^n-1)*An=3^n+1
故An=(3^n+1)/(3^n-1)

Answer 3

[[1]]操作
由题设条件,可以求得
A1=2, A2=5/4. A3=14/13. A4=41/40. A5=122/121.
[[2]]观察,
看分子,发现有
A2-A1=3.
A3-A2=3²
A4-A3=3³
A5-A4=81=3^4
,,,
An-A(n-1)=3^(n-1)
累加,An-A1=3[3^(n-1)-1]/2
An=[(3^n)+1]/2.
[[3]]结合整个数列.猜测通项
An=[(3^n)+1]/[(3^n)-1]. n=1,2,3....
[[4]]验证
易知,当n=1,2,3,4,5时正确.
A(n+1)=....略
[[[注:操作--->观察--->猜测---->验证.
这是解题的一种方法.
另外,该题还可以用"不动点"理论来做]]]]