Question

抛物线y=x的平方-2x+k与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C（0，-3）

1)求A,B两点坐标
2）设抛物线y=x的平方-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积
3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标。

Answer 1

解：
1）y=x²-2x+k
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3）
∴ k=-3
令 x²-2x-3=0
解得：x1=3，x2=-1
∴A,B两点的坐标分别为：（-1,0）、（3,0）
2）抛物线y=x²-2x-3的顶点坐标为：M(1，-4)
过M点做MN垂直于x轴，交x轴于N。
则：四边形ABMC的面积=S△OAC+梯形OCMN+△NMB
=½OA*OC+½(OC+NM)*ON+½(OB-ON)*NM
=½*1*3+½*(3+4)*1+½(3-1)*4
=3/2+7/2+4
=9
3) 设D点的坐标为:(a,b)
过D点做DE垂直于x轴，交x轴于E。
则：四边形ABDC的面积=S△OAC+△ODC+△ODB
=½OA*OC+½OC*|a|+½OB*|b|
=½*1*3+½*3*|a|++½3*|b|
∵b=a²-2a-3<0
∴S=3/2*(-a²+3a+3）
=3/2*(3+9/4-(a-3/2)²）
∴当a=3/2时，S最大=27/4
此时D(3/2，-15/4)