Question

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点

（1）求证：PQ平行平面DCC1D1
（2）求PQ与BC1所成的角
（3）求证：：EF平行平面BB1D1D
带图详解，谢谢

Answer 1

(1)取CD的中点G,DD1的中点H,连接:QG,PH,GH.由中位线定理,

知QG//BC且等于BC的一半.

PH//AD且等于AD的一半.由于BC=AD,且BC//AD 故QG=PH,  且QG//PH,即知:QGHP为平行四边形.

即得:PQ//GH,  从而PQ平行于平面DCC1D1 (一直线,平行于平面上的某一直线,则该直线就平行于这个平面).

(2) 连接D1C,由中位线定理,知D1C//GH, 从而PQ//D1C,

而又有BC1//AD1(因为ABC1D1为平行四边形)

故角AD1C即等于PQ与BC1所成的角.连接知三角形ACD1为正三角形.故角ADC1=60度.

即PQ与BC1所成的角为60度.

(3)取B1D1的中点K,连接KF,仍由中位线定理知:KF//B1C1,且等于其一半.

由此知EFKB为平行四边形,即知EF//BK.,故EF平行于平面BB1D1D((一直线,平行于平面上的某一直线,则该直线就平行于这个平面).

Answer 2

取AD和A1D1的中点为G、H，连接GQE三点共线且⊥AD，连接GPH三点共线且⊥AD，AD⊥面EGH，PQ∥HE，HE=√2a，连接FH，FH=√2a/2，EF=√(EC²+CC1²+FC1²)=√(a²/4+a²+a²/4)=√6a/2，在△EFH中由余弦定理得：FH²=HE²+EF²-2HEEFcos∠HEF，a²/2=2a²+3a²/2-√12a²cos∠HEF，cos∠HEF=√3/2，HE与EF所成角的余弦值=√3/2，则异面直线PQ与EF所成角的余弦值=√3/2。