Question

高一数学题求答（过程）：已知f(x)为二次函数，且f（x+1）+f(x-1)=2x^2-4x. (1)求f（x）得表达式

（2）判断函数g（x)=f(x)/x在（0，＋∞)上的单调性，并证之。(希望各位哥哥姐姐。。。帮我解答，多谢）

Answer 1

解：（1）设f(x)=ax^2+bx+c，
则，f（x+1）+f(x-1)
=a(x+1)^2+a(x-1)^2+b(x+1+x-1)+2c
=2(ax^2+bx+a+c)
=2x^2-4x
=2(x^2-2x)
所以，a=1，b=-2，a+c=0，c=-1，
f(x)=x^2-2x-1
（2）g（x)=f(x)/x=x-2-1/x
因为x>0时，x随x的增大而增大，-1/x随x的增大而增大，
所以g（x)=f(x)/x=x-2-1/x随x的增大而增大.
证明：设x1<x2，
g(x1)-g(x2)=(x1-x2)+(x1-x2)/(x1x2)>0，
所以，g(x)在（0，＋∞)上单调递增.

Answer 2

1、设f(x)=ax^2+bx+c,则：由f（x+1）+f(x-1)=2x^2-4x，得：
a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x
即：2ax^2+2bx+2a+2c=2x^2-4x
所以：2a=2,2b=-4,2a+2c=0
即：a=1,b=-2,c=-1
所以：f(x)=x^2-2x-1
2、g(x)=f(x)/x=(x^2-2x-1)/x=x-1/x-2
设：0<x1<x2
则：g(x1)-g(x2)=x1-1/x1-2-x2+1/x2+2=x1-x2+1/x2-1/x1
因为：0<x1<x2
所以：1/x1>1/x2
所以：x1-x2+1/x2-1/x1<0
即：g(x1)-g(x2)<0
所以：g（x)=f(x)/x在（0，＋∞)上为单调递增函数。

Answer 3

待定系数法：
设f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)+f(x-1)=2ax^2+2bx+2(a+c)=2x^2-4x
∴2a=2, 2b=-4, a+c=0解得，
a=1,b=-2,c=-1
f(x)=x^2-2x-1
f(1-根号2)=-2

Answer 4

postscript

Answer 5

解设f（x）=ax^2+bx+c
则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x;
对应系数解答a=-4，b=2，c=4；得到f（x）=-4x^2+2x+4
(2)利用函数的单调性定义即可解决