Question

已知O为平面直角坐标系的原点，过点M(-2,0)的直线与圆x^2+y^2=1交于P,Q两点

若向量OP*向量向量OQ=-1/2,求直线l的方程
若三角形OMP与三角形OPQ的面积相等求直线l的斜率

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，因为直线l过点M（-2，0），可设直线l：y=k（x+2）．
因为P、Q两点在圆x2+y2=1上，所以， |OP→|=|OQ→|=1，
因为 OP→•OQ→=-12，所以， OP→•OQ→=|OP→|•|OQ→|•cos∠POQ=-12
所以，∠POQ=120°，所以，O到直线l的距离等于 12． 所以， |2k|k2+1=12，得 k=±1515，
所以直线l的方程为 x-15y+2=0，或 x+15y+2=0．
（Ⅱ）因为△OMP与△OPQ的面积相等，所以， MQ→=2MP→，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以， MQ→=(x2+2，y2)， MP→=(x1+2，y1)．
所以， {x2+2=2(x1+2)y2=2y1，即 {x2=2(x1+1)y2=2y1（*）； 因为，P，Q两点在圆上，
所以， {x12+y12=1x22+y22=1把（*）代入，得 {x12+y12=14(x1+1)2+4y12=1，所以， {x1=-78y1=±158，
所以，直线l的斜率 k=kMP=±159，即 k=±159．