Question

已知过点A(-1,0)的动直线L与圆C：X2+(Y-3)2=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，与直线m:X+3Y+6=0相交于点N.

探索向量AM.向量AN是否与L的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。

Answer 1

∵CM⊥MN，∴ AM→•AN→=(AC→+CM→)•AN→=AC→•AN→+CM→•AN→=AC→•AN→．
①当l与x轴垂直时，易得 N(-1，-53)，则 AN→=(0，-53)，又 AC→=(1，3)，
∴ AM→•AN→=AC→•AN→=-5．
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由 {y=k(x+1)x+3y+6=0得 N(-3k-61+3k，-5k1+3k)，则 AN→=(-51+3k，-5k1+3k)．
∴ AM→•AN→=AC→•AN→=-51+3k+-15k1+3k=-5．
综上所述，a=18与直线l的斜率无关，且 AM→•AN→=-5．

Answer 2

其值=-5.
与L的倾斜角无关.
啊啊,有人做了.
回来再做做具体过程.

Answer 3

设连接CA并延长交直线x+3y+6=0相交于G，连接CM
可得AC的斜率为kAC=3-00+1=3
∵直线x+3y+6=0的斜率为K1=-13，kAC•k1=3×(-13)=-1
∴直线AC与直线x+3y+6=0垂直
又∵圆C中，M为弦PQ的中点
∴CM⊥PQ
因此△AGN∽△AMC，可得|AC||AN|=|AM||AG|
∴|AM|•|AN|=|AC|•|AG|
又∵|AC|=(-1-0)2+(3-0)2=10
|AG|=|-1+3×0+6|10=102
∴|AC|•|AG|=10•102=5
故答案为5

Answer 4

解：（1）∵l与m垂直，且 ，∴k1=3，
故直线l方程为y=3（x+1），即3x-y+3=0．∵圆心坐标（0，3）满足直线l方程，
∴当l与m垂直时，l必过圆心C．
（2）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∵ ，∴ ，则由 ，得 ，
∴直线l：4x-3y+4=0．
故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0．
（3）∵CM⊥MN，∴ ．
①当l与x轴垂直时，易得 ，则 ，又 ，
∴ ．
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由 得 ，则 ．
∴ ．
综上所述，a=18与直线l的斜率无关，且