Question

等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=2，点P.Q分别从A.C两点同时出发，以相同速度作直线运动，已知点P沿射线AB

点Q沿射线BC运动，PQ与直线AC相交于点D.1：设AP的长为x，三角形PCQ的面积为S,求出S关于x的函数关系式。2：当AP的长为多少时，三角形PCQ=三角形ABC。3：作PE垂直于AC于点E,当点P,Q运动时，线段DE的长度是否发生变化，若变化，请证明，若不变，请求出这个值。
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Answer 1

答:当P和Q运动时，线段DE的长不改变,并且DE=(1/2)AB=1
证明:延长AC,由Q向AC的延长线作垂线,垂足为G
点P和Q分别做匀速运动且他们的速度相同,说明AP=CQ
在Rr△APE和Rt△CQG中
∵∠A=∠ACB=∠QCG=60°
∵AP=CQ(已知)
∴R△APE≌ Rt△CQG
∴AE=CG,PE=QG
在Rr△PED和Rt△DQG中
∵PE=QG(已证)
∠PDE=∠CDQ(对顶角)
∴Rr△PED≌ Rt△DQG
∴ DE=DG
∵ DC=DG-CG
∴DC=DE-AE
∴DE=AE+DC
∵AC=DE+AE+DC=2DE
∴DE=(1/2)AC=1