Question

求下列微分方程的通解或特解： (1) 3y''-2y'-8y=0 (2) 4y"-8y'+5y=0

(3) y"+4y'+29y=0, y|(下角x=0)=0, y'|(下角x=0)=15
(4) 2y"+5y'=5x^2-2x-1

Answer 1

解：（1）∵3y''-2y'-8y=0的特征方程是3r²-2r-8=0，则r1=2，r2=-4/3
∴3y''-2y'-8y=0的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(-4x/3) (C1,C2是积分常数)；
（2）∵4y"-8y'+5y=0的特征方程是4r²-8r+5=0，则r1=1+i/2，r2=1-i/2(i是虚数)
∴4y"-8y'+5y=0的通解是y=(C1cos(x/2)+C2sin(x/2))e^x (C1,C2是积分常数)；
（3）∵y"+4y'+29y=0的特征方程是r²+4r+29=0，则r1=-2+5i，r2=-2-5i
∴y"+4y'+29y=0的通解是y=(C1cos(5x)+C2sin(5x))e^(-2x)
∵ y|(下角x=0)=0, y'|(下角x=0)=15
∴C1=0，C2=3
故满足初始条件的解是3sin(5x)e^(-2x)；
（4）∵2y"+5y'=0的特征方程是2r²+5r=0，则r1=-5/2，r2=0
∴2y"+5y'=0的通解是y=C1e^(-5x/2)+C2 (C1,C2是积分常数)
设原方程的解是y=Ax³+Bx²+Cx
代入原方程得A=1/3，B=-6/5，C=7/5
故原方程的通解是y=C1e^(-5x/2)+C2=x³/3-6x²/5+7x/5 (C1,C2是积分常数)。