Question

一道高中数学题。 在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，侧面BB1C1C⊥底面ABC。

⑴若D是BC中点，求证：AD⊥CC1;
⑵过侧棱BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C;
⑶AM=MA1是截面MBC⊥平面MBC1的充要条件吗？请你叙述判断理由。

Answer 1

1、∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C
∴AD⊥CC1.
2、延长B1A1与BM交于N，连结C1N
∵AM=MA1，∴NA1=A1B1
∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1
∴C1N⊥C1B1
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
3、是充要条件，充分性第2问已证明，必要性证明如下：
过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C
∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C.
∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面
∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE
∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1
∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点
∴AM=DE=CC1/2=AA1/2
∴AM=MA1.
辅助线的图自己画

追问

∴C1N⊥C1B1
这一步怎么回事儿？

追答

三角形NB1C1中，由于已证得A1C1=A1N=A1B1，角A1NC1=角A1C1N=角A1C1B1=角A1B1C1，这四个角是三角形NB1C1的三个内角和，是180°，
说明角A1NC1=角A1C1N=角A1B1C1=角A1B1C1=180°/4=45°，
∴角A1C1N+角A1C1B1=90°
∴C1N⊥C1B1