Question

设函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，对于x,y∈（0，+∞）满足f(xy)=f(x)+f(y)

设函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，对于x,y∈（0，+∞）满足f(xy)=f(x)+f(y)
（1）求证：当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0
（2）当f(5)=1,解不等式f(x+1)-f(2x)>2

Answer 1

令x=1，y=0
f（1）=f（1）+f（o）
f（0）=0
因为f（x）是曾函数，所以第一问成立
2）
f（x+1）-f（2x）>2
即f（x+1）-f（2x）>f（5）+f（5）
f（x+1）-f（2x）>f（25）
f（x+1）>f(2x)+f(25)
f(x+1)>f(50x)
因为是曾函数
所以x+1>50x
0<x<1/49

Answer 2

（1）证明：解：易知f(x）中x>0
由f(xy)=f(x)+f(y)有
f(1)=2f(1)=0
函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数
即当x>1时，
可证：当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0
（2）由f(xy)=f(x)+f(y)有
f(25)=2f(5)=2
有 f（x+1）> f(25)+f(2x)

原式化为
f(x+1)> f(50x)
有函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数
x+1>50x又50x>0,解得0<x<1／49

Answer 3

(1)令x=y=1代入f(xy)=f(x)+f(y)得f(1)=2f(1),f(1)=0
由于f(x)为增函数，当x>=1时，有f(x)>=f(1)，f(x)>=0
(2)首先，定义域为x>0
f(x+1)-f(2x)>2
f(x+1)-f(2x)>f(5)+f(5)
f(x+1)-f(2x)>f(25)
f(x+1)>f(2x)+f(25)
f(x+1)>f(50x)
x+1>50x
x<1/49
所以0<x<1/49

Answer 4

（1）证f(1)=f(1)+f(1) 得f(1)=0
又其为增函数则有（1）结论成立
（2）2=2*f（5）=f(25)
则原方程是化为f(x+1)>f(2x)+f(25)=f(50x)
又函数单调递增则有
x+1>50x 解得0<x<1/49(x大于零由于定义域)