Question

已知函数f（x）＝x/（1＋x^2）。

已知函数f（x）＝x/（1＋x^2），证明在(-1，1)是增函数。
这个函数是奇函数

Answer 1

已知函数f（x）＝x/（1＋x^2），证明在(-1，1)是增函数。这个函数是奇函数.

证:由函数f（x）＝x/（1＋x^2）是奇函数.
要证明其在(-1，1)是增函数,
只需证明其在(0，1)是增函数即可.

任取0<x1<x2<1,
f(x2)-f(x1)
=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x2^2)*(1+x1^2)]
=(x2-x1)(1-x1*x2)/[(1+x2^2)*(1+x1^2)]

由0<x1<x2<1,
得0<x1*x2<1,
1-x1*x2>0,
x2-x1>0,

又1+x2^2>0,
1+x1^2>0
得(x2-x1)(1-x1*x2)/[(1+x2^2)*(1+x1^2)]>0,
即f(x2)-f(x1)>0,
f(x2)>f(x1)
得函数f（x）＝x/（1＋x^2）在(0，1)是增函数。
这个函数是奇函数
得函数f（x）＝x/（1＋x^2）在(-1，0)是增函数。
∴函数f（x）＝x/（1＋x^2）在(-1，1)是增函数。