Question

已知圆C：（x+2）^2+y^2=4,相互垂直的直线L1和L2过点（-1,0），

求L1L2被圆C所截得弦长之和的最大值，并求此时直线L1的方程。

Answer 1

设L1与x轴的夹角为 a,过圆心C（-2，0）分别作L1，L2的垂线，交点分别为A，B，则OA，OB分别平分L1，L2被C所截的弦DE，FG,设M（-1，0）,则|CM|=1
|CA|=|CM|cosa=cosa,|AD|^2=R^2-|CA|^2=4-(cosa)^2，|DE|=2|AD|
同理|BF|^2=R^2-|CB|^2=4-(sina)^2，|FG|=2|BF|
|DE|+|FG|最大即（|DE|+|FG|)^2最大，
记L=（|DE|+|FG|)^2=4（|AD|+|BF|）^2=4(4-cosa^2+4-sina^2+2((4-cosa^2)(4-sina^2))^(1/2))
=4(7+2(16-4cosa^2-4sina^2+sina^2cosa^2)^(1/2))
=4(7+(12+2(sin2a/2)^2)^()1/2)
可见，当地2a=90度,a=45时，L取最大值，为了4(7+2(12+1/4)^(1/2))=56,
则两弦长之和为L^(1/2)=(56)^(1/2)
此时L1：y=-(x+1)
L2:y=x+1
虽然看上去有点乱，但我编辑了好久，因为好多符号不会编辑，所以就采纳了吧……呃呃……

Answer 2