Question

一道几何证明题 附图

Answer 1

证明:
如图
过点P做平面垂线，垂足为点O，点O就是点P在平面内的射影；
又过点P分别做AB和AC的垂线，垂足分别为E，F。
易知直角△PAE≌直角△PAF【∠PAE=PAF，PA=PA】
∴AE=AF
由于△AOE和△AOF也是直角三角形
易知直角△AOE≌直角△AOF【AE=AF，AO=AO】
∴∠OAE=∠OAF， AO是∠BAC的角平分线。
∴点P在平面的射影落在∠BAC的角平分线上。

Answer 2

证明：
连接PA,从P点做出一条线段PB1垂直于直线AB并相交于点B1，再做一条线段PC1垂直于直线AC并相交于点C1.
∵∠PAB=∠PAC，即∠PAB1=∠PAC1。∴∠APB1=∠APC1
又∵有共同边PA，∴PB1=PC1，AB1=AC1
再由点P做一条射线与平面α线交于点P1。
此时∵∠PP1B1=∠PP1C1=90°，PB1=PC1，又有共同边PP1
∴可得P1B1=P1C1
又∵在△AB1P1和△AC1P1中
AB1=AC1，共同边AP1
∴∠P1AB1=∠P1AC1，即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上